Cho tam giac ABC vuong tai A (AB<AC), M là trung diem của cạnh huyền BC. Gọi D và E lần lượt là hinh chieu vuong goc của điểm M trên hai cạnh AB và AC. a) Chứng minh ADME là hinh chu nhat và D,E lần l...

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh ADME là hình chữ nhật và D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC. 1. Chứng minh ADME là hình chữ nhật: - Vì M là trung điểm của BC, nên MB = MC. - D là hình chiếu vuông góc của M trên AB, do đó MD vuông góc với AB. - E là hình chiếu vuông góc của M trên AC, do đó ME vuông góc với AC. - Trong tam giác vuông ABC, góc A là góc vuông, do đó AB vuông góc với AC. - Từ các điều trên, ta có: - MD vuông góc với AB - ME vuông góc với AC - AB vuông góc với AC - Do đó, tứ giác ADME có các góc vuông tại D và E, nên ADME là hình chữ nhật. 2. Chứng minh D và E lần lượt là trung điểm của AB và AC: - Vì ADME là hình chữ nhật, nên AD = ME và MD = AE. - Trong tam giác vuông ABC, M là trung điểm của BC, do đó: - MD = MB = MC - Vì MD = AE và AD = ME, nên D và E là trung điểm của AB và AC. b) Chứng minh BDEM là hình bình hành. - Ta đã biết D và E lần lượt là trung điểm của AB và AC. - Do đó, BD = DA và CE = EA. - Trong hình chữ nhật ADME, ta có AD = ME và MD = AE. - Vì AD = ME và MD = AE, nên BD = ME và CE = MD. - Do đó, BD song song với ME và CE song song với MD. - Tứ giác BDEM có hai cặp cạnh đối song song, nên BDEM là hình bình hành. c) Chứng minh AK vuông góc KN. 1. Lấy điểm N sao cho M là trung điểm của NE: - Vì M là trung điểm của NE, nên MN = ME. 2. Hạ EK vuông góc BC tại K: - EK vuông góc với BC tại K. 3. Chứng minh AK vuông góc KN: - Trong tam giác vuông AEK, ta có EK vuông góc với AK. - Vì M là trung điểm của NE, nên MN = ME. - Do đó, tam giác MNE là tam giác cân tại M. - Trong tam giác cân MNE, đường trung tuyến MK cũng là đường cao, do đó MK vuông góc với NE. - Vì EK vuông góc với BC và MK vuông góc với NE, nên AK vuông góc với KN. Vậy, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.