Giúp mình với! Giả sử M, N, P là ba điểm lần lượt nằm trên ba cạnh SA, SB, SC của tứ diện S.ABC.,Gọi I là giao điểm của ba mặt phẳng (BCM), (CAN), (ABP) và J là giao điểm của ba,mặt phẳng (ANP), (BPM), (CMN). Ta được S, I, J thẳng hàng. Tính đẳng thức nào,sau đây đúng?,$\circ A.\frac{MS}{MA}+\frac{NS}{NB}+\frac{PS}{PC}+\frac12=\frac{JS}{JI}$,$B.~\frac{MS}{MA}+\frac{NS}{NB}+\frac{PS}{PC}+\frac14=\frac{JS}{JI}$,$C.~\frac{MS}{MA}+\frac{NS}{NB}+\frac{PS}{PC}+\frac13=\frac{JS}{JI}$,$D.~\frac{MS}{MA}+\frac{NS}{NB}+\frac{PS}{PC}+1=\frac{JS}{JI}$

Question

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta cần sử dụng định lý Menelaus trong không gian. Định lý Menelaus cho tứ diện S.ABC với các điểm M, N, P lần lượt nằm trên các cạnh SA, SB, SC và các mặt phẳng (BCM), (CAN), (ABP) cắt nhau tại điểm I, và các mặt phẳng (ANP), (BPM), (CMN) cắt nhau tại điểm J, ta có:

1. Theo định lý Menelaus cho tứ diện S.ABC với điểm I là giao điểm của các mặt phẳng (BCM), (CAN), (ABP), ta có:
   $$
   \frac{MS}{MA} \cdot \frac{NA}{NB} \cdot \frac{PB}{PC} = 1
   $$

2. Theo định lý Menelaus cho tứ diện S.ABC với điểm J là giao điểm của các mặt phẳng (ANP), (BPM), (CMN), ta có:
   $$
   \frac{NS}{NB} \cdot \frac{PS}{PC} \cdot \frac{MS}{MA} = 1
   $$

Từ hai đẳng thức trên, ta có thể suy ra mối quan hệ giữa các tỉ số này. Tuy nhiên, để tìm ra đẳng thức đúng trong các lựa chọn A, B, C, D, ta cần sử dụng thêm một kết quả đặc biệt liên quan đến các điểm thẳng hàng trong không gian.

Khi S, I, J thẳng hàng, một kết quả đặc biệt của định lý Menelaus mở rộng cho không gian cho biết:
$$
\frac{MS}{MA} + \frac{NS}{NB} + \frac{PS}{PC} = \frac{JS}{JI} - 1
$$

Do đó, ta có:
$$
\frac{MS}{MA} + \frac{NS}{NB} + \frac{PS}{PC} + 1 = \frac{JS}{JI}
$$

Vậy đáp án đúng là D.