giải giúp em với ạ

Câu 9: Để xác định miền xác định của hàm số \( y = \frac{\cot 2x}{1 - 2\cos 2x} \), chúng ta cần đảm bảo rằng cả tử số và mẫu số đều thỏa mãn điều kiện xác định. 1. Điều kiện xác định của \(\cot 2x\): - Hàm số \(\cot 2x\) xác định khi \(2x \neq k\pi\) với \(k\) là số nguyên. - Điều này tương đương với \(x \neq \frac{k\pi}{2}\). 2. Điều kiện xác định của mẫu số \(1 - 2\cos 2x\): - Mẫu số khác 0, tức là \(1 - 2\cos 2x \neq 0\). - Điều này tương đương với \(\cos 2x \neq \frac{1}{2}\). - Giải phương trình \(\cos 2x = \frac{1}{2}\): \[ 2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{(với \(k\) là số nguyên)} \] \[ x = \pm \frac{\pi}{6} + k\pi \] 3. Kết hợp các điều kiện: - Từ \(x \neq \frac{k\pi}{2}\) và \(x \neq \pm \frac{\pi}{6} + k\pi\), chúng ta cần kiểm tra các khoảng giữa các điểm này để tìm ra khoảng xác định của hàm số. 4. Kiểm tra các khoảng: - Xét các khoảng giữa các điểm \(x = \frac{k\pi}{2}\) và \(x = \pm \frac{\pi}{6} + k\pi\): - Khoảng \((- \frac{3\pi}{4}; -\frac{\pi}{4})\): - Kiểm tra \(x = -\frac{3\pi}{4}\) và \(x = -\frac{\pi}{4}\): \[ 2x = -\frac{3\pi}{2} \quad \text{và} \quad 2x = -\frac{\pi}{2} \] Cả hai đều không làm mẫu số bằng 0 và không vi phạm điều kiện \(\cot 2x\). - Khoảng \((\frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3})\): - Kiểm tra \(x = \frac{\pi}{3}\) và \(x = \frac{2\pi}{3}\): \[ 2x = \frac{2\pi}{3} \quad \text{và} \quad 2x = \frac{4\pi}{3} \] Cả hai đều không làm mẫu số bằng 0 và không vi phạm điều kiện \(\cot 2x\). - Khoảng \((- \frac{\pi}{2}; 0)\): - Kiểm tra \(x = -\frac{\pi}{2}\) và \(x = 0\): \[ 2x = -\pi \quad \text{và} \quad 2x = 0 \] Cả hai đều không làm mẫu số bằng 0 và không vi phạm điều kiện \(\cot 2x\). - Khoảng \((\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{4})\): - Kiểm tra \(x = \frac{\pi}{2}\) và \(x = \frac{3\pi}{4}\): \[ 2x = \pi \quad \text{và} \quad 2x = \frac{3\pi}{2} \] Cả hai đều không làm mẫu số bằng 0 và không vi phạm điều kiện \(\cot 2x\). Vậy, hàm số \( y = \frac{\cot 2x}{1 - 2\cos 2x} \) xác định trong khoảng \((\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{4})\). Đáp án đúng là: \( D. (\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{4}) \). Câu 10: Để hàm số \( y = \sqrt{\frac{(m-1)\cos 4x}{m-2}} \) xác định trên \(\mathbb{R}\), biểu thức dưới dấu căn phải không âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Điều này yêu cầu: \[ \frac{(m-1)\cos 4x}{m-2} \geq 0 \quad \text{với mọi } x \in \mathbb{R}. \] Do \(\cos 4x\) nhận cả hai giá trị dương và âm trong khoảng \([-1, 1]\), ta cần đảm bảo rằng tử số và mẫu số cùng dấu hoặc bằng không. Ta sẽ xét các trường hợp sau: Trường hợp 1: \( m - 2 > 0 \) Khi đó \( m > 2 \). Để biểu thức \(\frac{(m-1)\cos 4x}{m-2}\) không âm với mọi \(x\), ta cần: \[ (m-1)\cos 4x \geq 0 \quad \text{với mọi } x \in \mathbb{R}. \] Do \(\cos 4x\) nhận cả hai giá trị dương và âm, ta cần \( m - 1 \leq 0 \): \[ m - 1 \leq 0 \implies m \leq 1. \] Tuy nhiên, \( m > 2 \) và \( m \leq 1 \) không thể đồng thời xảy ra. Vậy trường hợp này không thỏa mãn. Trường hợp 2: \( m - 2 < 0 \) Khi đó \( m < 2 \). Để biểu thức \(\frac{(m-1)\cos 4x}{m-2}\) không âm với mọi \(x\), ta cần: \[ (m-1)\cos 4x \leq 0 \quad \text{với mọi } x \in \mathbb{R}. \] Do \(\cos 4x\) nhận cả hai giá trị dương và âm, ta cần \( m - 1 \geq 0 \): \[ m - 1 \geq 0 \implies m \geq 1. \] Kết hợp với \( m < 2 \), ta có: \[ 1 \leq m < 2. \] Giá trị nguyên duy nhất trong khoảng này là \( m = 1 \). Kiểm tra \( m = 1 \): Thay \( m = 1 \) vào hàm số: \[ y = \sqrt{\frac{(1-1)\cos 4x}{1-2}} = \sqrt{\frac{0 \cdot \cos 4x}{-1}} = \sqrt{0} = 0. \] Hàm số \( y = 0 \) xác định trên \(\mathbb{R}\). Kết luận: Có duy nhất một giá trị nguyên \( m = 1 \) để hàm số \( y = \sqrt{\frac{(m-1)\cos 4x}{m-2}} \) xác định trên \(\mathbb{R}\). Đáp án: B. 1. Câu 11: Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích từng khẳng định và kiểm tra tính đúng sai của chúng. Khẳng định A: Ba điểm S, N, O thẳng hàng. - Do M là trung điểm của SB, nên DM là đường trung tuyến của tam giác SBD. - Đường thẳng DM cắt mặt phẳng (SAC) tại N, do đó N nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng (SBD) và (SAC). - Vì O là tâm của hình bình hành ABCD, nên O nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD). - Do đó, ba điểm S, N, O thẳng hàng. Khẳng định B: Ba điểm C, N, K thẳng hàng. - Mặt phẳng (CDM) cắt SA tại K, do đó K nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng (CDM) và (SAC). - Đường thẳng DM cắt mặt phẳng (SAC) tại N, do đó N cũng nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng (CDM) và (SAC). - Vì vậy, ba điểm C, N, K thẳng hàng. Khẳng định C: $KM // CD$. - Mặt phẳng (CDM) cắt SA tại K, và M là trung điểm của SB. - Để $KM // CD$, thì K phải là trung điểm của SA, điều này không được đảm bảo từ thông tin đã cho. - Do đó, khẳng định này có thể sai. Khẳng định D: N là trung điểm của đoạn thẳng CK. - Từ các phân tích trên, N nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng (CDM) và (SAC), và C, N, K thẳng hàng. - Tuy nhiên, không có thông tin nào cho thấy N là trung điểm của CK. Từ các phân tích trên, khẳng định sai là khẳng định C: $KM // CD$. Câu 12: Ta có \( u_n = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \cdots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} \). Sử dụng phương pháp phân tích thành tổng của hai phân số: \[ \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right). \] Do đó: \[ u_n = \frac{1}{2} \left( \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right) \right). \] Các số hạng trung gian sẽ triệt tiêu nhau, ta còn lại: \[ u_n = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2n+1} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{2n+1-1}{2n+1} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{2n}{2n+1} \right) = \frac{n}{2n+1}. \] Bây giờ, ta kiểm tra các mệnh đề: A. \( u_{10} = \frac{10}{21} \): \[ u_{10} = \frac{10}{2 \cdot 10 + 1} = \frac{10}{21}. \] Mệnh đề A đúng. B. Dãy tăng: \[ u_{n+1} = \frac{n+1}{2(n+1)+1} = \frac{n+1}{2n+3}. \] So sánh \( u_n \) và \( u_{n+1} \): \[ u_n = \frac{n}{2n+1}, \quad u_{n+1} = \frac{n+1}{2n+3}. \] \[ u_{n+1} - u_n = \frac{n+1}{2n+3} - \frac{n}{2n+1} = \frac{(n+1)(2n+1) - n(2n+3)}{(2n+3)(2n+1)} = \frac{2n^2 + n + 2n + 1 - 2n^2 - 3n}{(2n+3)(2n+1)} = \frac{1}{(2n+3)(2n+1)}. \] Vì \( \frac{1}{(2n+3)(2n+1)} > 0 \), nên \( u_{n+1} > u_n \). Do đó, dãy tăng. Mệnh đề B đúng. C. \( u_n < \frac{1}{2} \) với mọi \( n \in \mathbb{N}^ \): \[ u_n = \frac{n}{2n+1} < \frac{n}{2n} = \frac{1}{2}. \] Mệnh đề C đúng. D. Số \( \frac{17}{31} \) thuộc dãy \( (u_n) \): \[ \frac{n}{2n+1} = \frac{17}{31}. \] Giải phương trình: \[ 31n = 17(2n+1) \Rightarrow 31n = 34n + 17 \Rightarrow 3n = 17 \Rightarrow n = \frac{17}{3}. \] Vì \( n \) phải là số tự nhiên, nên \( n = \frac{17}{3} \) không phải là số tự nhiên. Do đó, \( \frac{17}{31} \) không thuộc dãy \( (u_n) \). Mệnh đề D sai. Vậy, mệnh đề sai là: \[ \boxed{D}. \] Câu 1: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh SO là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD). - Xét mặt phẳng (SAC): Mặt phẳng này chứa các điểm S, A, C. - Xét mặt phẳng (SBD): Mặt phẳng này chứa các điểm S, B, D. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là một đường thẳng đi qua điểm chung của hai mặt phẳng này. Vì S là điểm chung của cả hai mặt phẳng, nên đường thẳng giao tuyến phải đi qua S. - Xét điểm O: O là giao điểm của AC và BD. Do đó, O nằm trên cả hai mặt phẳng (SAC) và (SBD). Vì vậy, đường thẳng SO đi qua điểm chung S và O, là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD). b) Chứng minh giao điểm I của đường thẳng AN và mặt phẳng (SBD) nằm trên đường thẳng SO. - Xét đường thẳng AN: N là trung điểm của SC, do đó N nằm trên mặt phẳng (SAC). Đường thẳng AN nằm trong mặt phẳng (SAC). - Giao điểm I của AN với (SBD): Vì AN nằm trong (SAC) và I là giao điểm của AN với (SBD), nên I cũng nằm trên giao tuyến của (SAC) và (SBD), tức là I nằm trên đường thẳng SO. c) Chứng minh giao điểm J của đường thẳng MN và mặt phẳng (SBD) nằm trên đường thẳng SD. - Xét đường thẳng MN: M là trung điểm của AB, do đó M nằm trên mặt phẳng (ABCD). N là trung điểm của SC, do đó N nằm trên mặt phẳng (SAC). Đường thẳng MN nằm trong mặt phẳng (SAC). - Giao điểm J của MN với (SBD): Vì MN nằm trong (SAC) và J là giao điểm của MN với (SBD), nên J cũng nằm trên giao tuyến của (SAC) và (SBD), tức là J nằm trên đường thẳng SD. d) Chứng minh ba điểm I, J, B thẳng hàng. - Điểm I: Như đã chứng minh ở phần b, I nằm trên đường thẳng SO. - Điểm J: Như đã chứng minh ở phần c, J nằm trên đường thẳng SD. - Điểm B: B nằm trên đường thẳng BD, và D nằm trên đường thẳng SD. Vì I nằm trên SO, J nằm trên SD, và B nằm trên BD, và vì O là giao điểm của AC và BD, nên ba điểm I, J, B thẳng hàng trên đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD). Như vậy, chúng ta đã chứng minh được tất cả các phần của bài toán.