giải giúp em với ạ

Câu 1: Để xác định giao tuyến \(d\) của hai mặt phẳng \((SAD)\) và \((SBC)\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định giao điểm của hai mặt phẳng với đáy: - Mặt phẳng \((SAD)\) chứa cạnh \(AD\). - Mặt phẳng \((SBC)\) chứa cạnh \(BC\). 2. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng: - Vì \(AD\) và \(BC\) là hai cạnh đối của hình bình hành \(ABCD\), nên chúng song song với nhau: \(AD \parallel BC\). - Do đó, giao tuyến \(d\) của hai mặt phẳng \((SAD)\) và \((SBC)\) sẽ đi qua đỉnh chung \(S\) và song song với \(AD\) và \(BC\). 3. Kết luận: - Giao tuyến \(d\) đi qua \(S\) và song song với \(BC\). Vậy khẳng định đúng là: D. \(d\) đi qua \(S\) và song song với \(BC\). Câu 2: Để giải bài toán này, ta cần xác định số mặt phẳng có thể tạo thành từ năm điểm phân biệt A, B, C, D, E, trong đó không có bốn điểm nào nằm trên cùng một mặt phẳng. 1. Chọn ba điểm từ năm điểm đã cho: Để tạo thành một mặt phẳng, ta cần chọn ba điểm bất kỳ từ năm điểm đã cho. Số cách chọn ba điểm từ năm điểm là tổ hợp chập 3 của 5, được tính bằng công thức: \[ C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10 \] 2. Kiểm tra điều kiện không có bốn điểm nào đồng phẳng: Theo giả thiết, không có bốn điểm nào trong số năm điểm đã cho nằm trên cùng một mặt phẳng. Điều này có nghĩa là bất kỳ ba điểm nào được chọn từ năm điểm này đều tạo thành một mặt phẳng duy nhất. 3. Kết luận: Do đó, số mặt phẳng có thể tạo thành từ năm điểm A, B, C, D, E là 10. Vậy đáp án đúng là B. 10. Câu 3: Để giải phương trình \(\cot(x + \frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}\), chúng ta sẽ làm theo các bước sau: 1. Xác định giá trị của \(x\) sao cho \(\cot(x + \frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}\): Ta biết rằng \(\cot(\theta) = \sqrt{3}\) khi \(\theta = \frac{\pi}{6} + k\pi\) với \(k \in \mathbb{Z}\). 2. Thay \(\theta\) vào phương trình: \[ x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + k\pi \] 3. Giải phương trình để tìm \(x\): \[ x = \frac{\pi}{6} + k\pi - \frac{\pi}{3} \] \[ x = \frac{\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} + k\pi \] \[ x = -\frac{\pi}{6} + k\pi \] 4. So sánh với dạng nghiệm đã cho \(x = -\frac{\pi}{m} + \frac{k\pi}{n}\): Ta thấy rằng: \[ -\frac{\pi}{6} + k\pi = -\frac{\pi}{m} + \frac{k\pi}{n} \] Do đó: \[ m = 6 \quad \text{và} \quad n = 1 \] 5. Tính \(m - n\): \[ m - n = 6 - 1 = 5 \] Vậy đáp án đúng là: A. 5. Câu 4: Hàm số \( y = \tan x + \cot x \) xác định khi cả hai hàm số \( \tan x \) và \( \cot x \) đều xác định. - Hàm số \( \tan x \) xác định khi \( x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \) với \( k \in \mathbb{Z} \). - Hàm số \( \cot x \) xác định khi \( x \neq k\pi \) với \( k \in \mathbb{Z} \). Do đó, hàm số \( y = \tan x + \cot x \) xác định khi: \[ x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \text{và} \quad x \neq k\pi \] Kết hợp các điều kiện trên, ta có: \[ x \neq \frac{k\pi}{2} \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z} \] Vậy tập xác định của hàm số \( y = \tan x + \cot x \) là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{k\pi}{2} \right\} \] Đáp án đúng là: \[ D.~D=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{k\pi}{2}\right\}. \] Câu 5: Để giải bài toán này, ta cần tính $\tan(x+y)$ dựa vào các giá trị đã cho: $\tan x = 0.5$ và $\sin y = \frac{3}{5}$ với $0 < y < 90^\circ$. Bước 1: Tìm $\cos y$ và $\tan y$ Vì $\sin y = \frac{3}{5}$, ta có thể sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông để tìm $\cos y$. Ta có: \[ \cos^2 y = 1 - \sin^2 y = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \] Do $0 < y < 90^\circ$, nên $\cos y > 0$. Vậy: \[ \cos y = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \] Từ đó, ta tính được $\tan y$: \[ \tan y = \frac{\sin y}{\cos y} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{4} \] Bước 2: Tính $\tan(x+y)$ Sử dụng công thức cộng của tang: \[ \tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \cdot \tan y} \] Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ \tan(x+y) = \frac{0.5 + \frac{3}{4}}{1 - 0.5 \cdot \frac{3}{4}} \] Tính tử số: \[ 0.5 + \frac{3}{4} = \frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{2}{4} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4} \] Tính mẫu số: \[ 1 - 0.5 \cdot \frac{3}{4} = 1 - \frac{3}{8} = \frac{8}{8} - \frac{3}{8} = \frac{5}{8} \] Vậy: \[ \tan(x+y) = \frac{\frac{5}{4}}{\frac{5}{8}} = \frac{5}{4} \times \frac{8}{5} = 2 \] Do đó, $\tan(x+y) = 2$. Vậy đáp án đúng là A. 2. Câu 6: Để giải bài toán này, ta cần biến đổi biểu thức $A = \sin^2(a+b) - \sin^2a - \sin^2b$. Trước tiên, ta sử dụng công thức lượng giác: \[ \sin^2x = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \] Áp dụng công thức này cho từng thành phần trong biểu thức $A$: 1. $\sin^2(a+b) = \frac{1 - \cos(2(a+b))}{2}$ 2. $\sin^2a = \frac{1 - \cos(2a)}{2}$ 3. $\sin^2b = \frac{1 - \cos(2b)}{2}$ Thay các biểu thức này vào $A$, ta có: \[ A = \frac{1 - \cos(2(a+b))}{2} - \frac{1 - \cos(2a)}{2} - \frac{1 - \cos(2b)}{2} \] Gộp các phân số lại, ta được: \[ A = \frac{1 - \cos(2(a+b)) - 1 + \cos(2a) - 1 + \cos(2b)}{2} \] \[ A = \frac{-\cos(2(a+b)) + \cos(2a) + \cos(2b) - 1}{2} \] Sử dụng công thức cộng góc cho $\cos(2(a+b))$, ta có: \[ \cos(2(a+b)) = \cos(2a + 2b) = \cos(2a)\cos(2b) - \sin(2a)\sin(2b) \] Thay vào biểu thức $A$, ta có: \[ A = \frac{- (\cos(2a)\cos(2b) - \sin(2a)\sin(2b)) + \cos(2a) + \cos(2b) - 1}{2} \] Rút gọn biểu thức: \[ A = \frac{-\cos(2a)\cos(2b) + \sin(2a)\sin(2b) + \cos(2a) + \cos(2b) - 1}{2} \] Nhận thấy rằng: \[ \sin(2a)\sin(2b) = 2\sin a \cos a \cdot 2\sin b \cos b = 4\sin a \cos a \sin b \cos b \] Và: \[ \cos(2a)\cos(2b) = (\cos^2a - \sin^2a)(\cos^2b - \sin^2b) \] Tuy nhiên, để đơn giản hóa, ta có thể sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng: \[ \sin(a+b)\sin(a-b) = \frac{1}{2}[\cos(2b) - \cos(2a)] \] Cuối cùng, ta nhận thấy rằng biểu thức $A$ có thể được viết lại dưới dạng: \[ A = 2\sin a \sin b \cos(a+b) \] Do đó, đáp án đúng là $D.~A=2\sin a.\sin b.\cos(a+b).$ Câu 7: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình. 2. Giải phương trình. 3. Kiểm tra các nghiệm trong khoảng đã cho. Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Phương trình \(\frac{\sin3x}{\cos x+1}=0\) có mẫu số là \(\cos x + 1\). Để phương trình có nghĩa, mẫu số phải khác 0: \[ \cos x + 1 \neq 0 \implies \cos x \neq -1 \] Điều này có nghĩa là \(x \neq \pi + k2\pi\) với \(k\) là số nguyên. Bước 2: Giải phương trình Phương trình \(\frac{\sin3x}{\cos x+1}=0\) sẽ bằng 0 khi tử số bằng 0: \[ \sin3x = 0 \] Giải phương trình \(\sin3x = 0\): \[ 3x = k\pi \implies x = \frac{k\pi}{3} \] với \(k\) là số nguyên. Bước 3: Kiểm tra các nghiệm trong khoảng \([2\pi; 4\pi]\) Chúng ta cần tìm các giá trị của \(k\) sao cho \(x\) nằm trong khoảng \([2\pi; 4\pi]\). - \(2\pi \leq \frac{k\pi}{3} \leq 4\pi\) - Nhân cả hai vế với 3: \[ 6\pi \leq k\pi \leq 12\pi \] - Chia cả hai vế cho \(\pi\): \[ 6 \leq k \leq 12 \] Vậy \(k\) có thể nhận các giá trị từ 6 đến 12, tức là \(k = 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\). Tuy nhiên, chúng ta cần kiểm tra xem các giá trị này có thỏa mãn điều kiện \(\cos x \neq -1\) hay không. - \(x = \frac{6\pi}{3} = 2\pi\): \(\cos 2\pi = 1\) (thỏa mãn) - \(x = \frac{7\pi}{3}\): \(\cos \frac{7\pi}{3} \neq -1\) (thỏa mãn) - \(x = \frac{8\pi}{3}\): \(\cos \frac{8\pi}{3} \neq -1\) (thỏa mãn) - \(x = \frac{9\pi}{3} = 3\pi\): \(\cos 3\pi = -1\) (không thỏa mãn) - \(x = \frac{10\pi}{3}\): \(\cos \frac{10\pi}{3} \neq -1\) (thỏa mãn) - \(x = \frac{11\pi}{3}\): \(\cos \frac{11\pi}{3} \neq -1\) (thỏa mãn) - \(x = \frac{12\pi}{3} = 4\pi\): \(\cos 4\pi = 1\) (thỏa mãn) Vậy các nghiệm thỏa mãn là \(x = 2\pi, \frac{7\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}, \frac{10\pi}{3}, \frac{11\pi}{3}, 4\pi\). Do đó, số nghiệm của phương trình trong khoảng \([2\pi; 4\pi]\) là 6. Đáp án: B. 6. Câu 8: Để tìm số nghiệm của phương trình \(\sqrt{2\pi x - x^2} \sin(\cos(2x - 2024\pi)) = 1 - \sin^2(x + 2\pi) - \cos^2(3\pi - x)\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Biểu thức dưới dấu căn phải không âm: \[ 2\pi x - x^2 \geq 0 \] Giải bất phương trình này: \[ x(2\pi - x) \geq 0 \] Điều này xảy ra khi: \[ 0 \leq x \leq 2\pi \] 2. Rút gọn vế phải của phương trình: - Sử dụng công thức \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\): \[ 1 - \sin^2(x + 2\pi) - \cos^2(3\pi - x) \] Vì \(\sin(x + 2\pi) = \sin x\) và \(\cos(3\pi - x) = -\cos x\), ta có: \[ 1 - \sin^2 x - \cos^2 x = 1 - (\sin^2 x + \cos^2 x) = 1 - 1 = 0 \] Do đó, vế phải của phương trình bằng 0. 3. Phương trình trở thành: \[ \sqrt{2\pi x - x^2} \sin(\cos(2x - 2024\pi)) = 0 \] Để phương trình này đúng, ít nhất một trong hai thừa số phải bằng 0. 4. Xét từng trường hợp: - Trường hợp 1: \(\sqrt{2\pi x - x^2} = 0\) \[ 2\pi x - x^2 = 0 \implies x(2\pi - x) = 0 \] Giải phương trình này: \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 2\pi \] Cả hai nghiệm này đều nằm trong khoảng \([0, 2\pi]\). - Trường hợp 2: \(\sin(\cos(2x - 2024\pi)) = 0\) \[ \cos(2x - 2024\pi) = k\pi \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z} \] Vì \(\cos\) chỉ nhận giá trị từ \(-1\) đến \(1\), nên \(k\) chỉ có thể là \(0\): \[ \cos(2x - 2024\pi) = 0 \] Điều này xảy ra khi: \[ 2x - 2024\pi = \frac{\pi}{2} + n\pi \quad \text{với} \quad n \in \mathbb{Z} \] Giải phương trình này: \[ 2x = 2024\pi + \frac{\pi}{2} + n\pi \implies x = 1012\pi + \frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2} \] Ta cần kiểm tra xem các giá trị này có nằm trong khoảng \([0, 2\pi]\) hay không. Tuy nhiên, do \(1012\pi\) rất lớn, các giá trị này không nằm trong khoảng \([0, 2\pi]\). 5. Kết luận: - Các nghiệm của phương trình là \(x = 0\) và \(x = 2\pi\). Do đó, số nghiệm của phương trình là 2. Đáp án: A. 2.