Giúp mình với! Cho hình chóp S.ABC có $AB=AC$ và $\widehat{SAC}=\widehat{SAB}.$ Tính số đo của góc giữa hai,đường thẳng chéo nhau SA và BC.

Question

Accepted Answer

Để tính số đo của góc giữa hai đường thẳng chéo nhau $ SA $ và $ BC $ trong hình chóp $ S.ABC $ với $ AB = AC $ và $\widehat{SAC} = \widehat{SAB}$, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định mặt phẳng trung gian:
   - Do $ AB = AC $ và $\widehat{SAC} = \widehat{SAB}$, tam giác $ \triangle ABC $ là tam giác cân tại $ A $.
   - Đường thẳng $ SA $ là đường cao của tam giác cân $ \triangle SAB $ và $ \triangle SAC $, do đó $ SA $ cũng là đường phân giác của góc $ \angle BAC $.

2. Xác định mặt phẳng chứa $ SA $ và vuông góc với $ BC $:
   - Xét mặt phẳng $ (SAB) $ chứa $ SA $ và vuông góc với $ BC $ tại điểm $ B $ (vì $ AB = AC $ và $ \angle SAB = \angle SAC $).
   - Trong mặt phẳng $ (SAB) $, đường thẳng $ SB $ là đường cao từ $ S $ xuống $ AB $.

3. Tính góc giữa $ SA $ và $ BC $:
   - Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau $ SA $ và $ BC $ chính là góc giữa đường thẳng $ SA $ và hình chiếu của nó lên mặt phẳng chứa $ BC $.
   - Hình chiếu của $ SA $ lên mặt phẳng $ (ABC) $ là đường thẳng $ AH $, trong đó $ H $ là trung điểm của $ BC $ (do $ AB = AC $).
   - Do đó, góc giữa $ SA $ và $ BC $ là góc giữa $ SA $ và $ AH $.

4. Kết luận:
   - Vì $ SA $ là đường cao của tam giác cân $ \triangle SAB $ và $ \triangle SAC $, nên $ SA $ vuông góc với $ AH $.
   - Do đó, góc giữa $ SA $ và $ BC $ là $ 90^\circ $.

Vậy, số đo của góc giữa hai đường thẳng chéo nhau $ SA $ và $ BC $ là $ 90^\circ $.