Giúp mình với! Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC và ACD là tam giác đều .,Gọi M, N , P lần lượt là trung điểm của BC; BD và AB. Tính góc giữa hai đường,thẳng DM và MN ?

Question

Accepted Answer

Để tính góc giữa hai đường thẳng $ DM $ và $ MN $ trong tứ diện $ ABCD $, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định các điểm và tính toán cần thiết

1. Tứ diện ABCD: Giả sử $ AB = AC = AD = BC = CD = a $ vì $ \triangle ABC $ và $ \triangle ACD $ là tam giác đều.

2. Trung điểm:
   - $ M $ là trung điểm của $ BC $, do đó $ M \left( \frac{B + C}{2} \right) $.
   - $ N $ là trung điểm của $ BD $, do đó $ N \left( \frac{B + D}{2} \right) $.
   - $ P $ là trung điểm của $ AB $, do đó $ P \left( \frac{A + B}{2} \right) $.

Bước 2: Tính tọa độ các điểm

Giả sử:
- $ A(0, 0, 0) $
- $ B(a, 0, 0) $
- $ C\left(\frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}a}{2}, 0\right) $
- $ D\left(\frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}a}{6}, \frac{\sqrt{6}a}{3}\right) $

Tọa độ các điểm trung điểm:
- $ M\left(\frac{3a}{4}, \frac{\sqrt{3}a}{4}, 0\right) $
- $ N\left(\frac{3a}{4}, \frac{\sqrt{3}a}{12}, \frac{\sqrt{6}a}{6}\right) $

Bước 3: Tính vector $ \overrightarrow{DM} $ và $ \overrightarrow{MN} $

- Vector $ \overrightarrow{DM} = M - D = \left(\frac{3a}{4} - \frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}a}{4} - \frac{\sqrt{3}a}{6}, 0 - \frac{\sqrt{6}a}{3}\right) = \left(\frac{a}{4}, \frac{\sqrt{3}a}{12}, -\frac{\sqrt{6}a}{3}\right) $

- Vector $ \overrightarrow{MN} = N - M = \left(\frac{3a}{4} - \frac{3a}{4}, \frac{\sqrt{3}a}{12} - \frac{\sqrt{3}a}{4}, \frac{\sqrt{6}a}{6} - 0\right) = \left(0, -\frac{\sqrt{3}a}{6}, \frac{\sqrt{6}a}{6}\right) $

Bước 4: Tính góc giữa hai vector

Góc giữa hai vector $ \overrightarrow{DM} $ và $ \overrightarrow{MN} $ được tính bằng công thức:

$$
\cos \theta = \frac{\overrightarrow{DM} \cdot \overrightarrow{MN}}{\|\overrightarrow{DM}\| \cdot \|\overrightarrow{MN}\|}
$$

- Tích vô hướng $ \overrightarrow{DM} \cdot \overrightarrow{MN} = \frac{a}{4} \cdot 0 + \frac{\sqrt{3}a}{12} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}a}{6}\right) + \left(-\frac{\sqrt{6}a}{3}\right) \cdot \frac{\sqrt{6}a}{6} = -\frac{a^2}{24} - \frac{a^2}{18} = -\frac{7a^2}{72} $

- Độ dài các vector:
  $$
  \|\overrightarrow{DM}\| = \sqrt{\left(\frac{a}{4}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}a}{12}\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{6}a}{3}\right)^2} = \frac{a}{6} \sqrt{19}
  $$
  $$
  \|\overrightarrow{MN}\| = \sqrt{0^2 + \left(-\frac{\sqrt{3}a}{6}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{6}a}{6}\right)^2} = \frac{a}{6} \sqrt{9} = \frac{a}{2}
  $$

- Tính $ \cos \theta $:
  $$
  \cos \theta = \frac{-\frac{7a^2}{72}}{\frac{a}{6} \sqrt{19} \cdot \frac{a}{2}} = \frac{-7}{6\sqrt{19}}
  $$

Do đó, góc giữa hai đường thẳng $ DM $ và $ MN $ là $ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{-7}{6\sqrt{19}}\right) $.