Giúp mình với!

Để giải bài toán này, ta cần tính tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{PM}\) và \(\overrightarrow{CN}\) trong hình tứ diện đều \(OABC\) với các cạnh đôi một vuông góc. Bước 1: Xác định tọa độ các điểm Giả sử \(O\) là gốc tọa độ \((0, 0, 0)\). - Vì \(OA\), \(OB\), \(OC\) đôi một vuông góc và có độ dài bằng \(a\), ta có thể đặt: - \(A(a, 0, 0)\) - \(B(0, a, 0)\) - \(C(0, 0, a)\) Bước 2: Xác định tọa độ các trung điểm - \(M\) là trung điểm của \(OB\), nên tọa độ của \(M\) là: \[ M\left(\frac{0+0}{2}, \frac{a+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (0, \frac{a}{2}, 0) \] - \(N\) là trung điểm của \(OC\), nên tọa độ của \(N\) là: \[ N\left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{a+0}{2}\right) = (0, 0, \frac{a}{2}) \] - \(P\) là trung điểm của \(AB\), nên tọa độ của \(P\) là: \[ P\left(\frac{a+0}{2}, \frac{0+a}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right) \] - \(Q\) là trung điểm của \(AC\), nên tọa độ của \(Q\) là: \[ Q\left(\frac{a+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+a}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, 0, \frac{a}{2}\right) \] Bước 3: Tính các vectơ \(\overrightarrow{PM}\) và \(\overrightarrow{CN}\) - Vectơ \(\overrightarrow{PM}\) có tọa độ: \[ \overrightarrow{PM} = M - P = \left(0 - \frac{a}{2}, \frac{a}{2} - \frac{a}{2}, 0 - 0\right) = \left(-\frac{a}{2}, 0, 0\right) \] - Vectơ \(\overrightarrow{CN}\) có tọa độ: \[ \overrightarrow{CN} = N - C = \left(0 - 0, 0 - 0, \frac{a}{2} - a\right) = \left(0, 0, -\frac{a}{2}\right) \] Bước 4: Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{PM} \cdot \overrightarrow{CN}\) Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{PM}\) và \(\overrightarrow{CN}\) là: \[ \overrightarrow{PM} \cdot \overrightarrow{CN} = \left(-\frac{a}{2}\right) \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot \left(-\frac{a}{2}\right) = 0 \] Vậy, tích vô hướng \(\overrightarrow{PM} \cdot \overrightarrow{CN}\) bằng \(0\).