Giúp mình với! Cho tứ diện ABCD có $AB=AC=AD;$ góc BAC bằng góc BAD bằng $60^0.$ Gọi M và N là trung,điểm của AB và CD,Góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ bằng:,

Question

Giúp mình với! Cho tứ diện ABCD có $AB=AC=AD;$ góc BAC bằng góc BAD bằng $60^0.$ Gọi M và N là trung,điểm của AB và CD,Góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ bằng:,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/dev/public/illustration_images/d167c36b42ba4b8abb207bc53c9fa9be.jpg />

Accepted Answer

Để tìm góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định các vectơ:

- Vì $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$, ta có:
     $$
     \overrightarrow{AM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}, \quad \overrightarrow{AN} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AD}
     $$

2. Tính tích vô hướng:

- Ta cần tính tích vô hướng $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}$.
   - Do $AB = AC = AD$ và góc $\angle BAC = \angle BAD = 60^\circ$, ta có:
     $$
     \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \cdot AC \cdot \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} AB^2
     $$
   - Tương tự:
     $$
     \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = \frac{1}{2} AB^2
     $$

3. Tính độ dài các vectơ:

- Độ dài của $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ là $AB$ và $CD$ tương ứng.

4. Tính góc giữa hai vectơ:

- Sử dụng công thức:
     $$
     \cos \theta = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{CD}|}
     $$
   - Thay các giá trị đã biết vào:
     $$
     \cos \theta = \frac{\frac{1}{2} AB^2}{AB \cdot CD} = \frac{1}{2}
     $$
   - Suy ra $\theta = 60^\circ$.

Vậy, góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ là $60^\circ$.