Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi...

Câu 1: Để tính độ dài đường chéo \( AC \) của hình bình hành \( ABCD \), ta có thể sử dụng định lý cosin trong tam giác \( \triangle ABD \). Trong tam giác \( \triangle ABD \), ta có: - \( AB = 5 \) - \( AD = 8 \) - Góc \( \widehat{A} = 60^\circ \) Theo định lý cosin, ta có: \[ AC^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\widehat{A}) \] Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ AC^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ) \] Ta biết rằng \( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \), do đó: \[ AC^2 = 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} \] Tính toán từng bước: \[ AC^2 = 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 25 + 64 - 40 \] \[ AC^2 = 89 - 40 = 49 \] Do đó, độ dài đường chéo \( AC \) là: \[ AC = \sqrt{49} = 7 \] Vậy, độ dài đường chéo \( AC \) là 7. Câu 2: Để xác định loại tam giác ABC, ta cần phân tích điều kiện đã cho: \( h_a = \sqrt{p(p_a - a)} \). Trước tiên, ta nhắc lại các khái niệm và công thức liên quan: 1. \( p \) là nửa chu vi của tam giác, được tính bằng: \[ p = \frac{a + b + c}{2} \] 2. \( h_a \) là chiều cao ứng với cạnh \( a \), được tính bằng: \[ h_a = \frac{2S}{a} \] trong đó \( S \) là diện tích của tam giác. 3. Công thức Heron cho diện tích tam giác là: \[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \] 4. Theo đề bài, ta có: \[ h_a = \sqrt{p(p-a)} \] Bây giờ, ta sẽ thay \( h_a \) vào công thức diện tích: \[ h_a = \frac{2S}{a} = \sqrt{p(p-a)} \] Từ đó, ta có: \[ \frac{2S}{a} = \sqrt{p(p-a)} \] Bình phương hai vế, ta được: \[ \left(\frac{2S}{a}\right)^2 = p(p-a) \] \[ \frac{4S^2}{a^2} = p(p-a) \] Thay \( S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \) vào, ta có: \[ \frac{4(p(p-a)(p-b)(p-c))}{a^2} = p(p-a) \] Rút gọn, ta được: \[ 4(p-b)(p-c) = a^2 \] Điều này cho thấy rằng: \[ a^2 = 4(p-b)(p-c) \] Để tam giác ABC là tam giác vuông, theo định lý Pythagore, ta cần có \( a^2 = b^2 + c^2 \). Từ \( a^2 = 4(p-b)(p-c) \), ta thấy rằng điều này chỉ xảy ra khi \( b = c \), tức là tam giác ABC là tam giác cân tại A và cũng là tam giác vuông tại A. Vậy, tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A. Câu 3: Để tính diện tích của hình thoi ABCD, ta cần sử dụng công thức diện tích của hình thoi dựa vào độ dài hai đường chéo. Đầu tiên, ta sẽ tìm độ dài các đường chéo của hình thoi. 1. Tính độ dài đường chéo AC: Trong hình thoi ABCD, các cạnh đều bằng nhau và bằng \(a\). Góc \(\widehat{BAD} = 30^\circ\). Ta xét tam giác ABD, đây là tam giác cân tại A với \(AB = AD = a\). Sử dụng định lý cosin trong tam giác ABD, ta có: \[ BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\widehat{BAD}) \] \[ BD^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(30^\circ) \] \[ BD^2 = 2a^2 - 2a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ BD^2 = 2a^2 - a^2\sqrt{3} \] \[ BD = a\sqrt{2 - \sqrt{3}} \] 2. Tính độ dài đường chéo AC: Do ABCD là hình thoi, hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có: \[ \widehat{AOD} = 90^\circ \] Trong tam giác vuông AOD, ta có: \[ \tan(\widehat{BAD}) = \frac{OD}{AO} \] \[ \tan(30^\circ) = \frac{OD}{AO} = \frac{1}{\sqrt{3}} \] Do đó, nếu gọi \(AO = x\) và \(OD = \frac{x}{\sqrt{3}}\), thì: \[ AD = \sqrt{AO^2 + OD^2} = \sqrt{x^2 + \left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)^2} \] \[ a = \sqrt{x^2 + \frac{x^2}{3}} = \sqrt{\frac{4x^2}{3}} \] \[ a = \frac{2x}{\sqrt{3}} \] \[ x = \frac{a\sqrt{3}}{2} \] Đường chéo AC có độ dài: \[ AC = 2 \cdot AO = 2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3} \] 3. Tính diện tích hình thoi ABCD: Diện tích hình thoi được tính bằng công thức: \[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot a\sqrt{3} \cdot a\sqrt{2 - \sqrt{3}} \] \[ S = \frac{a^2}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{3}} \] Đơn giản hóa biểu thức: \[ S = \frac{a^2}{2} \cdot \sqrt{3(2 - \sqrt{3})} \] Đây là diện tích của hình thoi ABCD. Câu 4: Để tính đường kính của hồ nước, ta sử dụng định lý cosin trong tam giác \( \triangle ABC \). Bước 1: Áp dụng định lý cosin Trong tam giác \( \triangle ABC \), ta có: \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\widehat{BAC}) \] Thay các giá trị đã biết vào: - \( AB = 8,5 \, \text{m} \) - \( AC = 11,5 \, \text{m} \) - \( \widehat{BAC} = 141^\circ \) \[ BC^2 = 8,5^2 + 11,5^2 - 2 \cdot 8,5 \cdot 11,5 \cdot \cos(141^\circ) \] Bước 2: Tính toán Tính \( \cos(141^\circ) \): \[ \cos(141^\circ) = \cos(180^\circ - 39^\circ) = -\cos(39^\circ) \] Sử dụng máy tính để tìm \( \cos(39^\circ) \approx 0,7771 \), do đó: \[ \cos(141^\circ) \approx -0,7771 \] Thay vào công thức: \[ BC^2 = 8,5^2 + 11,5^2 + 2 \cdot 8,5 \cdot 11,5 \cdot 0,7771 \] \[ BC^2 = 72,25 + 132,25 + 151,77 \] \[ BC^2 = 356,27 \] \[ BC \approx \sqrt{356,27} \approx 18,88 \, \text{m} \] Bước 3: Tính đường kính Vì \( BC \) là dây cung lớn nhất trong đường tròn, nên \( BC \) chính là đường kính của đường tròn. Vậy, đường kính của hồ nước là khoảng \( 18,88 \, \text{m} \). Câu 5: Để tính khoảng cách từ vị trí A đến vị trí B, ta có thể sử dụng định lý sin trong tam giác. Đầu tiên, ta cần xác định các góc trong tam giác ABC. 1. Xác định góc $\widehat{ABC}$: Trong tam giác ABC, tổng ba góc bằng $180^\circ$. Do đó, ta có: \[ \widehat{BAC} + \widehat{BCA} + \widehat{ABC} = 180^\circ \] Thay các giá trị đã biết vào, ta có: \[ 70^\circ + 50^\circ + \widehat{ABC} = 180^\circ \] \[ \widehat{ABC} = 180^\circ - 70^\circ - 50^\circ = 60^\circ \] 2. Áp dụng định lý sin: Định lý sin cho tam giác ABC là: \[ \frac{AB}{\sin \widehat{BCA}} = \frac{AC}{\sin \widehat{ABC}} \] Biết rằng $AC = 50$ m, $\widehat{BCA} = 50^\circ$, và $\widehat{ABC} = 60^\circ$, ta thay vào công thức: \[ \frac{AB}{\sin 50^\circ} = \frac{50}{\sin 60^\circ} \] 3. Tính toán: Ta cần tính $\sin 50^\circ$ và $\sin 60^\circ$. Biết rằng: \[ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 \] Sử dụng máy tính để tính $\sin 50^\circ \approx 0.766$. Thay các giá trị này vào phương trình: \[ \frac{AB}{0.766} = \frac{50}{0.866} \] Giải phương trình trên để tìm $AB$: \[ AB = \frac{50 \times 0.766}{0.866} \approx 44.23 \] Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị, ta có: \[ AB \approx 44 \text{ m} \] Vậy, khoảng cách từ vị trí A đến vị trí B là khoảng 44 mét. Câu 6: Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng định lý lượng giác trong tam giác vuông. Gọi \( AB = h \) là chiều cao của tháp hải đăng cần tìm. Ta có hai tam giác vuông là \( \triangle ABP \) và \( \triangle ABQ \). 1. Xét tam giác vuông \( \triangle ABP \): - Góc \( \widehat{BPA} = 15^\circ \). - Ta có: \[ \tan 15^\circ = \frac{AB}{AP} = \frac{h}{AP} \] - Suy ra: \[ AP = \frac{h}{\tan 15^\circ} \] 2. Xét tam giác vuông \( \triangle ABQ \): - Góc \( \widehat{BQA} = 22^\circ \). - Ta có: \[ \tan 22^\circ = \frac{AB}{AQ} = \frac{h}{AQ} \] - Suy ra: \[ AQ = \frac{h}{\tan 22^\circ} \] 3. Tính khoảng cách \( PQ \): - Theo đề bài, khoảng cách giữa hai tàu là \( PQ = 100 \) m. - Ta có: \[ PQ = AQ - AP = \frac{h}{\tan 22^\circ} - \frac{h}{\tan 15^\circ} \] - Thay \( PQ = 100 \) vào phương trình trên: \[ 100 = \frac{h}{\tan 22^\circ} - \frac{h}{\tan 15^\circ} \] 4. Giải phương trình để tìm \( h \): - Đưa về cùng mẫu số: \[ 100 = h \left( \frac{1}{\tan 22^\circ} - \frac{1}{\tan 15^\circ} \right) \] - Suy ra: \[ h = \frac{100}{\frac{1}{\tan 22^\circ} - \frac{1}{\tan 15^\circ}} \] 5. Tính giá trị cụ thể: - Sử dụng bảng giá trị lượng giác: \[ \tan 15^\circ \approx 0.2679, \quad \tan 22^\circ \approx 0.4040 \] - Thay vào phương trình: \[ h = \frac{100}{\frac{1}{0.4040} - \frac{1}{0.2679}} \] - Tính toán: \[ h = \frac{100}{2.4752 - 3.7333} \approx \frac{100}{-1.2581} \approx 79.5 \text{ m} \] Vậy chiều cao của tháp hải đăng \( AB \) là khoảng 79.5 m.