giải và giải thích

Để tính diện tích của tam giác có ba cạnh là 13, 14, 15, ta có thể sử dụng công thức Heron. Công thức Heron cho diện tích tam giác khi biết độ dài ba cạnh là: \[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \] trong đó \( a, b, c \) là độ dài ba cạnh của tam giác và \( p \) là nửa chu vi của tam giác, được tính bằng: \[ p = \frac{a + b + c}{2} \] Áp dụng vào bài toán: 1. Tính nửa chu vi \( p \): \[ p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21 \] 2. Tính diện tích \( S \) theo công thức Heron: \[ S = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} \] \[ S = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} \] \[ S = \sqrt{21 \times 336} \] \[ S = \sqrt{7056} \] 3. Tính giá trị của \( \sqrt{7056} \): \[ S = 84 \] Vậy diện tích của tam giác là 84. Đáp án đúng là A. 84. Câu 45: Để giải bài toán này, ta cần xác định giá trị của một đại lượng nào đó trong tam giác ABC. Tuy nhiên, đề bài không rõ ràng về việc cần tìm giá trị nào. Có thể có một số nhầm lẫn trong việc trình bày đề bài. Dưới đây là một cách tiếp cận để giải quyết bài toán nếu giả sử chúng ta cần tìm độ dài một cạnh hoặc một góc nào đó trong tam giác ABC. Giả sử chúng ta cần tìm độ dài cạnh BC của tam giác ABC, và biết rằng tam giác ABC có các góc hoặc cạnh liên quan đến các giá trị đã cho. Tuy nhiên, để có thể giải quyết bài toán, chúng ta cần thêm thông tin về tam giác này, chẳng hạn như độ dài các cạnh khác hoặc các góc của tam giác. Nếu có thông tin về các góc hoặc các cạnh khác, ta có thể sử dụng định lý cosin hoặc định lý sin để tìm độ dài cạnh BC. Dưới đây là cách sử dụng định lý cosin: Giả sử biết độ dài hai cạnh AB và AC, và góc A, ta có thể sử dụng định lý cosin: \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(A) \] Tuy nhiên, do đề bài không cung cấp đủ thông tin, chúng ta không thể tiếp tục giải bài toán này một cách chính xác. Nếu có thêm thông tin, vui lòng cung cấp để có thể giải quyết bài toán một cách đầy đủ và chính xác hơn. Câu 54: Để tìm bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC, trước tiên ta cần tính diện tích của tam giác và nửa chu vi của tam giác. Tam giác ABC có độ dài các cạnh là \(AB = 3\), \(AC = 4\), \(BC = 5\). Đây là một tam giác vuông tại A (vì \(3^2 + 4^2 = 5^2\)). 1. Tính diện tích tam giác ABC: Diện tích của tam giác vuông có thể được tính bằng công thức: \[ S = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 \] 2. Tính nửa chu vi của tam giác ABC: Nửa chu vi \(p\) của tam giác được tính bằng: \[ p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{3 + 4 + 5}{2} = 6 \] 3. Tính bán kính đường tròn nội tiếp: Bán kính \(r\) của đường tròn nội tiếp tam giác được tính bằng công thức: \[ r = \frac{S}{p} = \frac{6}{6} = 1 \] Tuy nhiên, có vẻ như đã có sự nhầm lẫn trong việc chọn đáp án. Đáp án đúng không nằm trong các lựa chọn đã cho. Có thể có lỗi trong việc đưa ra các lựa chọn đáp án. Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là 1. Câu 55: Để tìm độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp \( R \) của tam giác \( \Delta ABC \), ta có thể sử dụng công thức: \[ R = \frac{abc}{4S} \] Trong đó: - \( a = 13 \), \( b = 14 \), \( c = 15 \) là độ dài các cạnh của tam giác. - \( S = 84 \) là diện tích của tam giác. Thay các giá trị vào công thức, ta có: \[ R = \frac{13 \times 14 \times 15}{4 \times 84} \] Tính tử số: \[ 13 \times 14 = 182 \] \[ 182 \times 15 = 2730 \] Tính mẫu số: \[ 4 \times 84 = 336 \] Do đó: \[ R = \frac{2730}{336} \] Rút gọn phân số: Chia cả tử và mẫu cho 6: \[ \frac{2730 \div 6}{336 \div 6} = \frac{455}{56} \] Chia tiếp cả tử và mẫu cho 7: \[ \frac{455 \div 7}{56 \div 7} = \frac{65}{8} \] Kết quả là: \[ R = 8,125 \] Vậy độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp \( R \) của tam giác là \( 8,125 \). Đáp án đúng là A. 8,125. Câu 56: Để tìm độ dài bán kính đường tròn nội tiếp \( r \) của tam giác \( \Delta ABC \), ta sử dụng công thức liên hệ giữa diện tích, nửa chu vi và bán kính đường tròn nội tiếp: \[ S = p \cdot r \] Trong đó: - \( S \) là diện tích của tam giác. - \( p \) là nửa chu vi của tam giác. - \( r \) là bán kính đường tròn nội tiếp. Theo đề bài, ta có: - Diện tích \( S = 10\sqrt{3} \). - Nửa chu vi \( p = 10 \). Thay các giá trị này vào công thức, ta có: \[ 10\sqrt{3} = 10 \cdot r \] Giải phương trình trên để tìm \( r \): \[ r = \frac{10\sqrt{3}}{10} = \sqrt{3} \] Vậy, độ dài bán kính đường tròn nội tiếp \( r \) của tam giác là \(\sqrt{3}\). Đáp án đúng là: \( D. \sqrt{3} \). Câu 57: Để tìm bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác có ba cạnh là 26, 28, 30, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính nửa chu vi của tam giác: Nửa chu vi \( p \) của tam giác được tính bằng công thức: \[ p = \frac{a + b + c}{2} \] với \( a = 26 \), \( b = 28 \), \( c = 30 \). \[ p = \frac{26 + 28 + 30}{2} = \frac{84}{2} = 42 \] 2. Tính diện tích của tam giác: Sử dụng công thức Heron để tính diện tích \( S \) của tam giác: \[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \] Thay các giá trị vào công thức: \[ S = \sqrt{42(42-26)(42-28)(42-30)} \] \[ S = \sqrt{42 \times 16 \times 14 \times 12} \] Tính từng phần: \[ 42 \times 16 = 672 \] \[ 14 \times 12 = 168 \] \[ S = \sqrt{672 \times 168} \] Tính tiếp: \[ 672 \times 168 = 112896 \] \[ S = \sqrt{112896} = 336 \] 3. Tính bán kính đường tròn nội tiếp: Bán kính \( r \) của đường tròn nội tiếp được tính bằng công thức: \[ r = \frac{S}{p} \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ r = \frac{336}{42} = 8 \] Vậy, bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác là 8. Đáp án đúng là B. 8. Câu 58: Để tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác có ba cạnh là 52, 56, 60, ta sử dụng công thức bán kính đường tròn ngoại tiếp \( R \) của tam giác với các cạnh \( a, b, c \) là: \[ R = \frac{abc}{4S} \] trong đó \( S \) là diện tích của tam giác. Để tính diện tích \( S \), ta có thể sử dụng công thức Heron: \[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \] với \( p \) là nửa chu vi của tam giác: \[ p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{52 + 56 + 60}{2} = 84 \] Bây giờ, ta tính diện tích \( S \): \[ S = \sqrt{84(84-52)(84-56)(84-60)} \] \[ S = \sqrt{84 \times 32 \times 28 \times 24} \] Tính từng phần: - \( 84 - 52 = 32 \) - \( 84 - 56 = 28 \) - \( 84 - 60 = 24 \) Bây giờ, ta tính tích: \[ 84 \times 32 = 2688 \] \[ 28 \times 24 = 672 \] Do đó: \[ S = \sqrt{2688 \times 672} \] Tính tiếp: \[ 2688 \times 672 = 1806336 \] \[ S = \sqrt{1806336} = 1344 \] Bây giờ, ta thay vào công thức tính bán kính \( R \): \[ R = \frac{52 \times 56 \times 60}{4 \times 1344} \] Tính tử số: \[ 52 \times 56 = 2912 \] \[ 2912 \times 60 = 174720 \] Tính mẫu số: \[ 4 \times 1344 = 5376 \] Do đó: \[ R = \frac{174720}{5376} = 32.5 \] Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp là \( 32.5 \). Đáp án đúng là C. 32,5. Câu 59: Để tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác với ba cạnh là 5, 12, 13, ta cần kiểm tra xem tam giác này có phải là tam giác vuông hay không. Ta có: - Cạnh dài nhất là 13. - Kiểm tra định lý Pythagore: \(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\). - \(13^2 = 169\). Vì \(5^2 + 12^2 = 13^2\), tam giác này là tam giác vuông với cạnh huyền là 13. Trong tam giác vuông, bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng nửa độ dài cạnh huyền. Do đó, bán kính đường tròn ngoại tiếp là: \[ R = \frac{13}{2} \] Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác là \(\frac{13}{2}\). Đáp án đúng là \(C.~\frac{13}{2}.\) Câu 60: Để tìm bán kính đường tròn nội tiếp tam giác, trước tiên ta cần xác định diện tích của tam giác đó. Tam giác với ba cạnh là 5, 12, 13 là một tam giác vuông, vì \(5^2 + 12^2 = 13^2\). 1. Tính diện tích tam giác: Diện tích \(S\) của tam giác vuông có thể được tính bằng công thức: \[ S = \frac{1}{2} \times \text{cạnh góc vuông thứ nhất} \times \text{cạnh góc vuông thứ hai} \] \[ S = \frac{1}{2} \times 5 \times 12 = 30 \] 2. Tính bán kính đường tròn nội tiếp: Bán kính \(r\) của đường tròn nội tiếp tam giác có thể được tính bằng công thức: \[ r = \frac{S}{p} \] trong đó \(p\) là nửa chu vi của tam giác. Nửa chu vi \(p\) được tính như sau: \[ p = \frac{5 + 12 + 13}{2} = 15 \] Thay các giá trị vào công thức tính bán kính: \[ r = \frac{30}{15} = 2 \] Vậy bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là 2. Đáp án đúng là A. 2.