Bài 73:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết.
a) Tứ giác BHKC là hình gì?
Để xác định tứ giác BHKC là hình gì, ta cần xem xét các đường thẳng song song đã cho:
- Đường thẳng DH song song với AB.
- Đường thẳng EK song song với AC.
Do đó, ta có:
- DH // AB và EK // AC.
Vì DH // AB và EK // AC, nên tứ giác BHKC có hai cặp cạnh đối song song. Do đó, tứ giác BHKC là một hình bình hành.
b) Tia IA cắt BC tại M. Chứng minh rằng: \(MB = MC\)
Để chứng minh \(MB = MC\), ta cần chứng minh rằng M là trung điểm của BC.
Xét tam giác ABC và các đường thẳng song song đã cho:
- DH // AB và EK // AC.
Do đó, theo định lý đường trung bình trong tam giác, ta có:
- Đường thẳng DH chia tam giác AHC thành hai phần có diện tích bằng nhau.
- Đường thẳng EK chia tam giác AKB thành hai phần có diện tích bằng nhau.
Vì I là giao điểm của DH và EK, nên I là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm H và K trên các cạnh AC và AB tương ứng.
Do đó, tia IA là đường trung tuyến của tam giác ABC, và M là trung điểm của BC. Vậy \(MB = MC\).
c) Tìm điều kiện của \(\Delta ABC\) để tứ giác DHKE là hình thang cân.
Để tứ giác DHKE là hình thang cân, cần có một cặp cạnh đối song song và hai cạnh bên bằng nhau.
Ta đã biết:
- DH // EK (do DH // AB và EK // AC).
Để DHKE là hình thang cân, cần thêm điều kiện:
- DH = EK.
Vì DH // AB và EK // AC, nên DH = EK khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác cân tại A (tức là AB = AC).
Vậy điều kiện để tứ giác DHKE là hình thang cân là tam giác ABC phải là tam giác cân tại A.
Bài 74:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một cách chi tiết.
a) Chứng minh tứ giác \( BHCD \) là hình bình hành
1. Xét tính chất đối xứng của điểm \( D \):
- \( D \) là điểm đối xứng của \( A \) qua \( O \), do đó \( O \) là trung điểm của đoạn thẳng \( AD \).
2. Xét tính chất của trực tâm \( H \):
- \( H \) là trực tâm của tam giác \( \Delta ABC \), do đó \( H \) là giao điểm của ba đường cao của tam giác.
3. Chứng minh \( BH \parallel CD \) và \( BH = CD \):
- Vì \( H \) là trực tâm, nên \( BH \) là đường cao từ \( B \) đến \( AC \).
- \( D \) là điểm đối xứng của \( A \) qua \( O \), nên \( CD \) là đường cao từ \( C \) đến \( AB \).
- Do đó, \( BH \parallel CD \) và \( BH = CD \).
4. Chứng minh \( HC \parallel BD \) và \( HC = BD \):
- Tương tự, \( HC \) là đường cao từ \( C \) đến \( AB \).
- \( BD \) là đường cao từ \( B \) đến \( AC \).
- Do đó, \( HC \parallel BD \) và \( HC = BD \).
5. Kết luận:
- Vì \( BH \parallel CD \) và \( HC \parallel BD \), nên tứ giác \( BHCD \) là hình bình hành.
b) Chứng minh \( AH = 2MO \)
1. Xét trung điểm \( M \) của \( BC \):
- \( M \) là trung điểm của \( BC \), do đó \( BM = MC \).
2. Xét tính chất của điểm \( O \):
- \( O \) là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác, nên \( O \) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \( \Delta ABC \).
3. Chứng minh \( AH = 2MO \):
- Do \( O \) là tâm đường tròn ngoại tiếp, nên \( OA = OB = OC \).
- \( M \) là trung điểm của \( BC \), nên \( MO \) là đường trung bình của tam giác \( \Delta AHC \).
- Theo tính chất của đường trung bình trong tam giác, ta có \( AH = 2MO \).
4. Kết luận:
- Từ các lập luận trên, ta chứng minh được \( AH = 2MO \).
Vậy, chúng ta đã chứng minh được cả hai phần của bài toán.