Giúp mình với! Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G. Chọn khẳng định đúng?,$\circ A.AB^2+AC^2+AD^2+BC^2+BD^2+CD^2$,$=3(GA^2+GB^2+GC^2+GD^2)$,$\circ B.AB^2+AC^2+AD^2+BC^2+BD^2+CD^2=4(GA^2+GB^2+GC^2+GD^2)$,$\circ C.AB^2+AC^2+AD^2+BC^2+BD^2+CD^2=6(GA^2+GB^2+GC^2+GD^2)$,$D.~AB^2+AC^2+AD^2+BC^2+BD^2+CD^2$,$=2(GA^2+GB^2+GC^2+GD^2)$

Question

Accepted Answer

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần sử dụng một số kiến thức về hình học không gian và trọng tâm của tứ diện.

Trọng tâm $ G $ của tứ diện $ ABCD $ là điểm thỏa mãn:

$$
\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}
$$

Từ đó, ta có thể suy ra:

$$
GA^2 + GB^2 + GC^2 + GD^2 = \frac{1}{4}(AB^2 + AC^2 + AD^2 + BC^2 + BD^2 + CD^2)
$$

Để chứng minh điều này, ta sử dụng công thức tính tổng bình phương khoảng cách từ trọng tâm đến các đỉnh của tứ diện:

$$
GA^2 + GB^2 + GC^2 + GD^2 = \frac{1}{4}(AB^2 + AC^2 + AD^2 + BC^2 + BD^2 + CD^2)
$$

Từ công thức trên, ta có:

$$
AB^2 + AC^2 + AD^2 + BC^2 + BD^2 + CD^2 = 4(GA^2 + GB^2 + GC^2 + GD^2)
$$

Do đó, khẳng định đúng là:

$$
\boxed{B. AB^2 + AC^2 + AD^2 + BC^2 + BD^2 + CD^2 = 4(GA^2 + GB^2 + GC^2 + GD^2)}
$$