Cứu em với, câu này khó quá ạ Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD, $AB=4,~CD=6.$ M là điểm thuộc cạnh,BC sao cho $MC=2BM.$ Mặt phẳng (P) đi qua M song song với AB và CD. Diện tích,thiết diện của (P) với tứ diện là:

Question

Accepted Answer

{"userId":5150105,"userName":"Haciicuti"}

Đặt kí hiệu và làm tọa độ (hoặc dùng phép biến đổi affine) để suy ra hệ số tỉ lệ.

Gọi BM:MC=1:2BM:MC=1:2BM:MC=1:2. Tại đó MMM chia đoạn BCBCBC theo tỉ số

M=B+t(C−B),t=BMBC=13.M = B + t(C-B),\qquad t=\frac{BM}{BC}=\frac{1}{3}.M=B+t(C−B),t=BCBM=31.Gọi u⃗=AB→\vec{u}=\overrightarrow{AB}u

=AB

và v⃗=CD→\vec{v}=\overrightarrow{CD}v

=CD

. Theo giả thiết ∣u⃗∣=4, ∣v⃗∣=6|\vec u|=4,\;|\vec v|=6∣u

∣=4,∣v

∣=6 và u⃗⊥v⃗\vec u\perp\vec vu

⊥v

. Mặt phẳng (P)(P)(P) đi qua MMM và song song với u⃗,v⃗\vec u,\vec vu

,v

nên thiết diện với tứ diện là một hình bình hành có hai cạnh song song với u⃗\vec uu

và v⃗\vec vv

.

Tính chiều dài hai cạnh của hình bình hành đó: với t = BM/BC,

cạnh song song với ABABAB có độ dài (1−t) ∣ u⃗ ∣(1-t)\,|\,\vec u\,|(1−t)∣u
∣ (tỉ lệ vì điểm nằm trên các cạnh nối AAA với CCC hoặc DDD),
cạnh song song với CDCDCD có độ dài t ∣ v⃗ ∣t\,|\,\vec v\,|t∣v
∣.

Do đó diện tích thiết diện là

∣)⋅(t∣v

∣)=∣u

∣∣v

∣t(1−t).Thay số ∣u⃗∣=4, ∣v⃗∣=6, t=13 |\vec u|=4,\;|\vec v|=6,\;t= frac{1}{3}∣u

∣=4,∣v

∣=6,t=31 ta được

S=4⋅6⋅13⋅23=24⋅29=163.S=4\cdot6\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}=24\cdot\frac{2}{9}=\frac{16}{3}.S=4⋅6⋅31⋅32=24⋅92=316.Vậy diện tích thiết diện là 163\boxed{\dfrac{16}{3}}316.