giải chuyên môn chính xác giúp tớ

Câu 18: Để tính góc giữa các vectơ \(\overrightarrow{SC}\) và \(\overrightarrow{AB}\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ các điểm: Giả sử \(A\) có tọa độ \((0, 0, 0)\), \(B\) có tọa độ \((a, 0, 0)\), và \(C\) có tọa độ \((0, a, 0)\). Do \(SA = SB = SC = a\), điểm \(S\) có tọa độ \((\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \sqrt{\frac{3}{2}}a)\). 2. Tính các vectơ: \[ \overrightarrow{SC} = (0 - \frac{a}{2}, a - \frac{a}{2}, 0 - \sqrt{\frac{3}{2}}a) = \left(-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, -\sqrt{\frac{3}{2}}a\right) \] \[ \overrightarrow{AB} = (a - 0, 0 - 0, 0 - 0) = (a, 0, 0) \] 3. Tính tích vô hướng của \(\overrightarrow{SC}\) và \(\overrightarrow{AB}\): \[ \overrightarrow{SC} \cdot \overrightarrow{AB} = \left(-\frac{a}{2}\right) \cdot a + \frac{a}{2} \cdot 0 + \left(-\sqrt{\frac{3}{2}}a\right) \cdot 0 = -\frac{a^2}{2} \] 4. Tính độ dài của các vectơ: \[ |\overrightarrow{SC}| = \sqrt{\left(-\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(-\sqrt{\frac{3}{2}}a\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{2}} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} \] \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{a^2 + 0 + 0} = a \] 5. Tính góc giữa hai vectơ: Sử dụng công thức tích vô hướng: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{SC} \cdot \overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{SC}| \cdot |\overrightarrow{AB}|} = \frac{-\frac{a^2}{2}}{a\sqrt{2} \cdot a} = \frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} \] \(\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}\) tương ứng với \(\theta = 135^\circ\). Vậy góc giữa \(\overrightarrow{SC}\) và \(\overrightarrow{AB}\) là \(135^\circ\). Tuy nhiên, trong các lựa chọn, không có \(135^\circ\), nên có thể có sai sót trong tính toán hoặc đề bài. Nhưng theo cách tính trên, góc là \(135^\circ\). Câu 19: Để giải bài toán này, ta cần tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{OM}\) và \(\overrightarrow{AC}\). Bước 1: Xác định tọa độ các điểm - Gốc tọa độ \(O(0, 0, 0)\). - \(A(1, 0, 0)\), \(B(0, 1, 0)\), \(C(0, 0, 1)\). Bước 2: Tìm tọa độ điểm \(M\) \(M\) là trung điểm của \(AB\), nên tọa độ của \(M\) là: \[ M\left(\frac{1+0}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right) \] Bước 3: Tìm vectơ \(\overrightarrow{OM}\) và \(\overrightarrow{AC}\) - \(\overrightarrow{OM} = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)\) - \(\overrightarrow{AC} = (0 - 1, 0 - 0, 1 - 0) = (-1, 0, 1)\) Bước 4: Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{AC}\) \[ \overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{AC} = \frac{1}{2} \cdot (-1) + \frac{1}{2} \cdot 0 + 0 \cdot 1 = -\frac{1}{2} \] Bước 5: Tính độ dài các vectơ - \(|\overrightarrow{OM}| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\) - \(|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}\) Bước 6: Tính góc giữa hai vectơ Góc \(\theta\) giữa hai vectơ được tính bằng công thức: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{OM}| \cdot |\overrightarrow{AC}|} \] \[ \cos \theta = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{-\frac{1}{2}}{1} = -\frac{1}{2} \] Do đó, \(\theta = 120^\circ\). Kết luận: Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{OM}\) và \(\overrightarrow{AC}\) là \(120^\circ\). Vậy đáp án đúng là \(B.~120^\circ\). Câu 20: Để tính độ lớn hợp lực của ba lực đã cho, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các lực trong mặt phẳng: Hai lực \(\vec{F_1}\) và \(\vec{F_2}\) nằm trong cùng một mặt phẳng và hợp với nhau một góc \(110^\circ\). Độ lớn của \(\vec{F_1}\) là 30 N và \(\vec{F_2}\) là 25 N. 2. Tính hợp lực của \(\vec{F_1}\) và \(\vec{F_2}\): Sử dụng định lý cosin để tính độ lớn của hợp lực \(\vec{F_{12}}\): \[ F_{12} = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2\cos(110^\circ)} \] Thay số vào: \[ F_{12} = \sqrt{30^2 + 25^2 + 2 \times 30 \times 25 \times \cos(110^\circ)} \] Tính \(\cos(110^\circ)\): \[ \cos(110^\circ) = \cos(180^\circ - 70^\circ) = -\cos(70^\circ) \] \[ \cos(70^\circ) \approx 0.342 \] \[ \cos(110^\circ) \approx -0.342 \] Thay vào công thức: \[ F_{12} = \sqrt{30^2 + 25^2 + 2 \times 30 \times 25 \times (-0.342)} \] \[ F_{12} = \sqrt{900 + 625 - 513} \] \[ F_{12} = \sqrt{1012} \] \[ F_{12} \approx 31.8 \, \text{N} \] 3. Tính hợp lực của ba lực: Lực thứ ba \(\vec{F_3}\) có độ lớn 10 N và vuông góc với mặt phẳng chứa \(\vec{F_1}\) và \(\vec{F_2}\). Do đó, ta có thể sử dụng định lý Pythagore trong không gian để tính độ lớn của hợp lực \(\vec{F}\): \[ F = \sqrt{F_{12}^2 + F_3^2} \] \[ F = \sqrt{31.8^2 + 10^2} \] \[ F = \sqrt{1012 + 100} \] \[ F = \sqrt{1112} \] \[ F \approx 33.3 \, \text{N} \] Vậy độ lớn hợp lực của ba lực đã cho là \(33.3 \, \text{N}\). Đáp án đúng là B. 33,3 N. Câu 21: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần kiểm tra từng lựa chọn để xác định lựa chọn nào là đúng. Thông tin đã cho: - Hai véc-tơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều có độ dài bằng 1. - Góc giữa hai véc-tơ là $45^\circ$. Công thức cần nhớ: - Độ dài của véc-tơ $\overrightarrow{v}$ là $|\overrightarrow{v}| = \sqrt{\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v}}$. - Tích vô hướng của hai véc-tơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| \cos \theta$, với $\theta$ là góc giữa hai véc-tơ. a) $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Vì góc giữa hai véc-tơ là $45^\circ$, ta có: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| \cos 45^\circ = 1 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}. \] Do đó, lựa chọn a) là đúng. b) $(\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}) = -5 + \frac{\sqrt{2}}{2}$. Tính tích vô hướng: \[ (\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}) = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} + 3\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a} - 6\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{b}. \] Vì $|\overrightarrow{a}| = 1$ và $|\overrightarrow{b}| = 1$, ta có: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a} = 1, \quad \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{b} = 1. \] Thay vào, ta được: \[ 1 - 2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) + 3(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) - 6 = 1 + \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} - 6. \] Thay $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ vào, ta có: \[ 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} - 6 = -5 + \frac{\sqrt{2}}{2}. \] Do đó, lựa chọn b) là đúng. c) $|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = 2 + \sqrt{2}$. Tính độ dài: \[ |\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = \sqrt{(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})} = \sqrt{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} + \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{b}}. \] Thay vào, ta có: \[ = \sqrt{1 + 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 1} = \sqrt{2 + \sqrt{2}}. \] Điều này không bằng $2 + \sqrt{2}$, do đó lựa chọn c) là sai. d) $|\overrightarrow{a} - \sqrt{2}\overrightarrow{b}| = 0$. Tính độ dài: \[ |\overrightarrow{a} - \sqrt{2}\overrightarrow{b}| = \sqrt{(\overrightarrow{a} - \sqrt{2}\overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{a} - \sqrt{2}\overrightarrow{b})}. \] \[ = \sqrt{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a} - 2\sqrt{2} \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{b}}. \] Thay vào, ta có: \[ = \sqrt{1 - 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 2} = \sqrt{1 - 2 + 2} = \sqrt{1} = 1. \] Điều này không bằng 0, do đó lựa chọn d) là sai. Kết luận: Các lựa chọn đúng là a) và b). Câu 22: Để giải quyết các câu hỏi liên quan đến hình chóp S.ABCD, ta cần xác định tọa độ các điểm trong không gian. Giả sử: - Đặt \( A(0, 0, 0) \), \( B(2a, 0, 0) \), \( C(2a, 2a, 0) \), \( D(0, 2a, 0) \). - Vì \( SA \) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và \( SA = 2a \), nên \( S(0, 0, 2a) \). a) Tích vô hướng của hai véc-tơ \(\overrightarrow{SD}\) và \(\overrightarrow{CD}\): - \(\overrightarrow{SD} = (0, 2a, 2a)\) - \(\overrightarrow{CD} = (-2a, 0, 0)\) Tích vô hướng: \[ \overrightarrow{SD} \cdot \overrightarrow{CD} = 0 \cdot (-2a) + 2a \cdot 0 + 2a \cdot 0 = 0 \] Kết luận: Tích vô hướng không phải là -1, mà là 0. b) Độ dài của véc-tơ \(\overrightarrow{AM}\): - M là trung điểm của \( SB \), nên \( M\left(\frac{2a}{2}, 0, \frac{2a}{2}\right) = (a, 0, a) \). - \(\overrightarrow{AM} = (a, 0, a)\) Độ dài: \[ |\overrightarrow{AM}| = \sqrt{a^2 + 0^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} \] Kết luận: Đúng. c) Góc giữa hai véc-tơ \(\overrightarrow{AC}\) và \(\overrightarrow{CD}\): - \(\overrightarrow{AC} = (2a, 2a, 0)\) - \(\overrightarrow{CD} = (-2a, 0, 0)\) Tích vô hướng: \[ \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{CD} = 2a \cdot (-2a) + 2a \cdot 0 + 0 \cdot 0 = -4a^2 \] Độ dài: \[ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(2a)^2 + (2a)^2} = \sqrt{8a^2} = 2a\sqrt{2} \] \[ |\overrightarrow{CD}| = \sqrt{(-2a)^2} = 2a \] Cosine của góc: \[ \cos \theta = \frac{-4a^2}{(2a\sqrt{2})(2a)} = \frac{-4a^2}{4a^2\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} \] Góc \(\theta = 135^\circ\), không phải \(45^\circ\). d) Tích vô hướng của hai véc-tơ \(\overrightarrow{SC}\) và \(\overrightarrow{AB}\): - \(\overrightarrow{SC} = (2a, 2a, 2a)\) - \(\overrightarrow{AB} = (2a, 0, 0)\) Tích vô hướng: \[ \overrightarrow{SC} \cdot \overrightarrow{AB} = 2a \cdot 2a + 2a \cdot 0 + 2a \cdot 0 = 4a^2 \] Kết luận: Đúng. Tóm lại, các kết quả đúng là b) và d).