giải chuyên môn chính xác

Câu 23: Để giải quyết các mệnh đề, ta cần phân tích từng trường hợp một cách chi tiết. a) Gọi M là trung điểm của BC. Độ dài véctơ \(\overrightarrow{A^\prime M}\) bằng \(\frac{3a}{2}\). - Tọa độ của các điểm trong hệ trục tọa độ: - \(A(0, 0, 0)\) - \(B(a, 0, 0)\) - \(C(a, a, 0)\) - \(A'(0, 0, a)\) - \(M\) là trung điểm của \(BC\), nên \(M\left(\frac{a+a}{2}, \frac{0+a}{2}, 0\right) = (a, \frac{a}{2}, 0)\). - Tọa độ của \(\overrightarrow{A^\prime M} = (a, \frac{a}{2}, -a)\). - Độ dài của \(\overrightarrow{A^\prime M}\) là: \[ \sqrt{a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 + (-a)^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4} + a^2} = \sqrt{\frac{9a^2}{4}} = \frac{3a}{2}. \] Mệnh đề a đúng. b) \(\overrightarrow{AC^\prime} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA^\prime}\). - Tọa độ của \(C'(a, a, a)\). - \(\overrightarrow{AC^\prime} = (a, a, a)\). - \(\overrightarrow{AB} = (a, 0, 0)\), \(\overrightarrow{AD} = (0, a, 0)\), \(\overrightarrow{AA^\prime} = (0, 0, a)\). - Tổng \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA^\prime} = (a, 0, 0) + (0, a, 0) + (0, 0, a) = (a, a, a)\). Mệnh đề b đúng. c) \(\overrightarrow{A^\prime B} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA^\prime}\). - \(\overrightarrow{A^\prime B} = (a, 0, -a)\). - \(\overrightarrow{AB} = (a, 0, 0)\), \(\overrightarrow{AA^\prime} = (0, 0, a)\). - Tổng \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA^\prime} = (a, 0, 0) + (0, 0, a) = (a, 0, a)\). Mệnh đề c sai. d) Góc giữa véctơ \(\overrightarrow{BA^\prime}\) và véctơ \(\overrightarrow{A^\prime C}\) bằng \(60^\circ\). - \(\overrightarrow{BA^\prime} = (0, 0, a)\), \(\overrightarrow{A^\prime C} = (a, a, 0)\). - Tích vô hướng \(\overrightarrow{BA^\prime} \cdot \overrightarrow{A^\prime C} = 0 \cdot a + 0 \cdot a + a \cdot 0 = 0\). - Độ dài \(\overrightarrow{BA^\prime} = a\), \(\overrightarrow{A^\prime C} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}\). - Cosine của góc giữa hai véctơ: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{BA^\prime} \cdot \overrightarrow{A^\prime C}}{|\overrightarrow{BA^\prime}| \cdot |\overrightarrow{A^\prime C}|} = \frac{0}{a \cdot a\sqrt{2}} = 0. \] - Góc giữa hai véctơ là \(90^\circ\). Mệnh đề d sai. Tóm lại: - Mệnh đề a đúng. - Mệnh đề b đúng. - Mệnh đề c sai. - Mệnh đề d sai. Câu 24: Để giải quyết các khẳng định, ta cần phân tích từng trường hợp một cách chi tiết. Khẳng định a) \((\overrightarrow{HB},\overrightarrow{CH})=120^\circ\). - Trọng tâm H của tam giác BCD: H là điểm chia mỗi đường trung tuyến của tam giác BCD theo tỉ lệ 2:1. - Tính chất của tứ diện đều: Các cạnh bằng nhau và các góc giữa các cạnh bằng nhau. - Góc giữa hai vectơ: \((\overrightarrow{HB},\overrightarrow{CH})\) là góc giữa hai vectơ từ trọng tâm H đến các đỉnh B và C. Do tứ diện đều, các góc giữa các cạnh là \(60^\circ\). Tuy nhiên, do H là trọng tâm, góc giữa \(\overrightarrow{HB}\) và \(\overrightarrow{CH}\) không phải là \(120^\circ\). Khẳng định này sai. Khẳng định b) \(\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{CD}=0\). - Tính chất của tứ diện đều: Các cạnh không vuông góc với nhau. - Tích vô hướng: \(\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{CD} = |\overrightarrow{SB}||\overrightarrow{CD}|\cos(\theta)\), với \(\theta\) là góc giữa \(\overrightarrow{SB}\) và \(\overrightarrow{CD}\). Vì \(\theta \neq 90^\circ\), nên \(\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{CD} \neq 0\). Khẳng định này sai. Khẳng định c) \(\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DS}=\overrightarrow{0}\). - Tính chất của tứ diện đều: Tổng các vectơ đi quanh một mặt kín là vectơ không. - Phân tích: \(\overrightarrow{SB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DS} = \overrightarrow{0}\). Khẳng định này đúng. Khẳng định d) \(\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{CS}=-\frac{25a^2}{2}\). - Tính chất của tứ diện đều: Các cạnh bằng nhau và các góc giữa các cạnh bằng nhau. - Tích vô hướng: \(\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{CS} = |\overrightarrow{SB}||\overrightarrow{CS}|\cos(\theta)\). Với \(|\overrightarrow{SB}| = |\overrightarrow{CS}| = 5a\) và \(\theta = 60^\circ\), ta có: \[ \overrightarrow{SB}.\overrightarrow{CS} = (5a)(5a)\cos(60^\circ) = 25a^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{25a^2}{2} \] Khẳng định này sai vì kết quả là dương, không phải âm. Kết luận: - a) Sai - b) Sai - c) Đúng - d) Sai Câu 25: Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích các lực tác động lên chất điểm tại đỉnh \( A \) của hình lập phương. Bước 1: Xác định các vectơ lực Giả sử cạnh của hình lập phương là \( a \). - Vectơ \(\overrightarrow{AD}\) có độ lớn 10 N, cùng hướng với \(\overrightarrow{AD}\), nên \(\overrightarrow{a} = 10 \cdot \frac{\overrightarrow{AD}}{a}\). - Vectơ \(\overrightarrow{AB}\) có độ lớn 10 N, cùng hướng với \(\overrightarrow{AB}\), nên \(\overrightarrow{b} = 10 \cdot \frac{\overrightarrow{AB}}{a}\). - Vectơ \(\overrightarrow{AC}\) có độ lớn 20 N, cùng hướng với \(\overrightarrow{AC}\), nên \(\overrightarrow{c} = 20 \cdot \frac{\overrightarrow{AC}}{\sqrt{2}a}\). Bước 2: Tính các vectơ tổng a) \(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{c}\) - \(\overrightarrow{a} = 10 \cdot \frac{\overrightarrow{AD}}{a} = 10 \cdot (1, 0, 0)\) - \(\overrightarrow{b} = 10 \cdot \frac{\overrightarrow{AB}}{a} = 10 \cdot (0, 1, 0)\) - \(\overrightarrow{c} = 20 \cdot \frac{\overrightarrow{AC}}{\sqrt{2}a} = 20 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right)\) Tổng \(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (10, 0, 0) + (0, 10, 0) = (10, 10, 0)\). So sánh với \(\overrightarrow{c} = \left(10\sqrt{2}, 10\sqrt{2}, 0\right)\), ta thấy \(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \neq \overrightarrow{c}\). b) \(|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = 20\) Tính độ lớn: \[ |\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \approx 14.14 \] Vậy \(|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| \neq 20\). c) \(|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c}| = |\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}|\) - \(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} = (10, 0, 0) + \left(10\sqrt{2}, 10\sqrt{2}, 0\right) = (10 + 10\sqrt{2}, 10\sqrt{2}, 0)\) - \(\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = (0, 10, 0) + \left(10\sqrt{2}, 10\sqrt{2}, 0\right) = (10\sqrt{2}, 10 + 10\sqrt{2}, 0)\) Tính độ lớn: \[ |\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c}| = \sqrt{(10 + 10\sqrt{2})^2 + (10\sqrt{2})^2} \] \[ |\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}| = \sqrt{(10\sqrt{2})^2 + (10 + 10\sqrt{2})^2} \] Hai giá trị này bằng nhau, do đó \(|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c}| = |\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}|\). d) \(|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}| = 32.59\) Tổng: \[ \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = (10, 10, 0) + \left(10\sqrt{2}, 10\sqrt{2}, 0\right) = (10 + 10\sqrt{2}, 10 + 10\sqrt{2}, 0) \] Tính độ lớn: \[ |\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}| = \sqrt{(10 + 10\sqrt{2})^2 + (10 + 10\sqrt{2})^2} \] Tính toán: \[ = \sqrt{2(10 + 10\sqrt{2})^2} = \sqrt{2(100 + 200\sqrt{2} + 200)} = \sqrt{600 + 400\sqrt{2}} \] Kết quả này xấp xỉ 32.59, do đó \(|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}| = 32.59\). Kết luận - a) Sai - b) Sai - c) Đúng - d) Đúng