cho tứ diện ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của AB, BD a, Xác định giao tuyến của (CAN) và (CDM) b, CMR: MN// (ACD) c, Các điểm G,H lần lượt trên cạnh AC, CD sao cho NH cắt MG tại I. CMR: 3 điểm B,...

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. a. Xác định giao tuyến của (CAN) và (CDM): Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (CAN) và (CDM), ta cần tìm một đường thẳng chung nằm trong cả hai mặt phẳng này. - Mặt phẳng (CAN) chứa các điểm C, A, N. - Mặt phẳng (CDM) chứa các điểm C, D, M. Ta thấy rằng điểm C là điểm chung của cả hai mặt phẳng. Do đó, giao tuyến của hai mặt phẳng này sẽ là đường thẳng đi qua điểm C và nằm trong cả hai mặt phẳng. Xét đường thẳng CN: - CN nằm trong mặt phẳng (CAN) vì N thuộc (CAN). - CN cũng nằm trong mặt phẳng (CDM) vì C thuộc (CDM). Vậy, giao tuyến của (CAN) và (CDM) là đường thẳng CN. b. Chứng minh MN // (ACD): Để chứng minh MN // (ACD), ta cần chứng minh rằng MN song song với một đường thẳng nào đó nằm trong mặt phẳng (ACD). - M là trung điểm của AB, N là trung điểm của BD. Do đó, MN là đường trung bình của tam giác ABD. - Theo tính chất đường trung bình, MN // AD và MN = $\frac{1}{2}$ AD. Xét mặt phẳng (ACD): - AD là một cạnh của tam giác ACD, do đó AD nằm trong mặt phẳng (ACD). Vì MN // AD và AD nằm trong (ACD), nên MN // (ACD). c. Chứng minh 3 điểm B, C, I thẳng hàng: Để chứng minh B, C, I thẳng hàng, ta cần chứng minh rằng điểm I nằm trên đường thẳng BC. - Gọi G, H lần lượt là các điểm trên AC và CD sao cho NH cắt MG tại I. - Ta đã biết M là trung điểm của AB và N là trung điểm của BD. Xét tam giác ABD với M, N là trung điểm của AB và BD: - MN là đường trung bình của tam giác ABD, do đó MN // AD. Xét tam giác ACD với G, H là các điểm trên AC và CD: - NH cắt MG tại I, theo định lý Menelaus cho tam giác ACD với đường thẳng NH cắt AC, CD, và MG, ta có: \[ \frac{AN}{ND} \cdot \frac{DH}{HC} \cdot \frac{CG}{GA} = 1 \] Vì N là trung điểm của BD, ta có $\frac{AN}{ND} = 1$. Do đó, $\frac{DH}{HC} \cdot \frac{CG}{GA} = 1$. Điều này cho thấy rằng I là điểm chia tỷ lệ trên đường thẳng BC, do đó B, C, I thẳng hàng. Vậy, ta đã chứng minh được 3 điểm B, C, I thẳng hàng.