Giải bài tập

Câu 17: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các công thức liên quan đến cấp số cộng. Gọi \( u_n \) là số hạng thứ \( n \) của cấp số cộng với công sai \( d \). Công thức tổng quát của số hạng thứ \( n \) trong cấp số cộng là: \[ u_n = u_1 + (n-1)d \] Trước hết, ta viết lại các phương trình đã cho theo \( u_1 \) và \( d \): 1. \( u_7 - u_6 + u_4 = -4 \) \[ (u_1 + 6d) - (u_1 + 5d) + (u_1 + 3d) = -4 \] \[ u_1 + 6d - u_1 - 5d + u_1 + 3d = -4 \] \[ u_1 + 4d = -4 \quad \text{(1)} \] 2. \( u_{10} + u_2 = -26 \) \[ (u_1 + 9d) + (u_1 + d) = -26 \] \[ u_1 + 9d + u_1 + d = -26 \] \[ 2u_1 + 10d = -26 \] \[ u_1 + 5d = -13 \quad \text{(2)} \] Bây giờ, ta giải hệ phương trình (1) và (2): Từ (1): \[ u_1 + 4d = -4 \] Từ (2): \[ u_1 + 5d = -13 \] Trừ (1) từ (2): \[ (u_1 + 5d) - (u_1 + 4d) = -13 - (-4) \] \[ d = -9 \] Thay \( d = -9 \) vào (1): \[ u_1 + 4(-9) = -4 \] \[ u_1 - 36 = -4 \] \[ u_1 = 32 \] Bây giờ, ta tính tổng của 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng \( S_{15} \). Công thức tính tổng của \( n \) số hạng đầu tiên của cấp số cộng là: \[ S_n = \frac{n}{2} (2u_1 + (n-1)d) \] Áp dụng vào \( n = 15 \): \[ S_{15} = \frac{15}{2} (2 \cdot 32 + (15-1)(-9)) \] \[ S_{15} = \frac{15}{2} (64 + 14(-9)) \] \[ S_{15} = \frac{15}{2} (64 - 126) \] \[ S_{15} = \frac{15}{2} (-62) \] \[ S_{15} = 15 \cdot (-31) \] \[ S_{15} = -465 \] Vậy tổng của 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng \( (u_n) \) là \( S_{15} = -465 \).