Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M=x^2+y^2+x-10y+30

Xuân An Vũ

$M=x^2+y^2+x-10y+30$

$=\left(x^2+x\right)+\left(y^2-10y\right)+30$

$=\left(x^2+x+\frac{1}{4}\right)-\frac{1}{4}+\left(y^2-10y+25\right)-25+30$

$=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\left(y-5\right)^2+\frac{19}{4}$

Vì $\left(x+\frac{1}{2}\right)^2\ge0;\left(y-5\right)^2\ge0$

$\Rightarrow M\ge\frac{19}{4}$

Dấu "=" xảy ra khi $\begin{cases}x+\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2} \\ y-5=0\Leftrightarrow y=5\end{cases}$

Vậy $\min M=\frac{19}{4}\Leftrightarrow\begin{cases}x=-\frac{1}{2} \\ y=5\end{cases}$.