Câu 41: Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Biết khoảng cách giữa hai đường Tình theo a thể...

Câu 41: Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định thể tích của khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' với các thông tin đã cho. Dưới đây là các bước giải chi tiết: Bước 1: Xác định các yếu tố cơ bản của tam giác đáy ABC - Tam giác ABC là tam giác đều cạnh \( a \). - Trọng tâm \( G \) của tam giác đều ABC là điểm cách đều ba đỉnh và nằm trên đường cao của tam giác. Bước 2: Tính chiều cao của tam giác đều ABC - Đường cao của tam giác đều ABC là \( h = \frac{a \sqrt{3}}{2} \). Bước 3: Xác định vị trí của điểm A' - Theo đề bài, hình chiếu vuông góc của điểm A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm \( G \) của tam giác ABC. - Do đó, \( A'G \) là chiều cao của lăng trụ. Bước 4: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC - Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song AA' và BC là \( \frac{a \sqrt{5}}{4} \). Bước 5: Tính thể tích của khối lăng trụ - Thể tích của khối lăng trụ được tính bằng công thức: \[ V = \text{Diện tích đáy} \times \text{Chiều cao} \] - Diện tích đáy (tam giác đều ABC) là: \[ S_{\text{ABC}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \] - Chiều cao của lăng trụ là \( A'G = \frac{a \sqrt{5}}{4} \). Bước 6: Tính toán thể tích - Thể tích của khối lăng trụ là: \[ V = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \times \frac{a \sqrt{5}}{4} = \frac{a^3 \sqrt{15}}{16} \] Kết luận - So sánh với các đáp án đã cho, không có đáp án nào khớp với kết quả tính toán của chúng ta. Có thể có sai sót trong đề bài hoặc trong quá trình tính toán. Tuy nhiên, theo cách tính toán trên, thể tích của khối lăng trụ là \( \frac{a^3 \sqrt{15}}{16} \). Vẽ hình - Vẽ tam giác đều ABC với cạnh \( a \). - Vẽ điểm A' sao cho hình chiếu của A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC. - Vẽ các cạnh của lăng trụ để hoàn thành hình lăng trụ ABC.A'B'C'.