Cuu mình vss ae

Câu 17: Để tính độ dài đường chéo \( AC \) của hình bình hành \( ABCD \), ta có thể sử dụng định lý cosin trong tam giác \( \triangle ABD \). Trong tam giác \( \triangle ABD \), ta có: - \( AB = 5 \) - \( AD = 8 \) - Góc \( \widehat{A} = 60^\circ \) Theo định lý cosin, ta có: \[ AC^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\widehat{A}) \] Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ AC^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ) \] Biết rằng \(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\), ta thay vào: \[ AC^2 = 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} \] Tính toán từng bước: \[ AC^2 = 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 25 + 64 - 40 \] \[ AC^2 = 89 - 40 = 49 \] Do đó, độ dài \( AC \) là: \[ AC = \sqrt{49} = 7 \] Vậy, độ dài đường chéo \( AC \) của hình bình hành là 7. Câu 18: Để giải bài toán này, ta cần sử dụng các định lý lượng giác trong tam giác vuông. 1. Xác định các góc và đoạn thẳng: - Đỉnh tháp B nhìn điểm A dưới góc $30^\circ$ so với phương thẳng đứng. - Chân tháp C nhìn điểm A dưới góc $60^\circ$ so với phương thẳng đứng. - Chiều cao tháp BC = 100m. 2. Xét tam giác vuông BCA: - Góc $\angle BAC = 30^\circ$. - Sử dụng định lý sin trong tam giác vuông: \[ \sin 30^\circ = \frac{AH}{AB} \] \[ \Rightarrow AH = AB \cdot \sin 30^\circ \] 3. Tính độ dài AB: - Trong tam giác vuông BCA, ta có: \[ \tan 30^\circ = \frac{BC}{AC} \] \[ \Rightarrow AC = \frac{BC}{\tan 30^\circ} = \frac{100}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = 100\sqrt{3} \] 4. Xét tam giác vuông AHC: - Góc $\angle AHC = 60^\circ$. - Sử dụng định lý sin trong tam giác vuông: \[ \sin 60^\circ = \frac{AH}{AC} \] \[ \Rightarrow AH = AC \cdot \sin 60^\circ = 100\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 150 \] Vậy chiều cao AH của ngọn đồi là 150m. Câu 19: a, Phần 1: Tìm độ dài véc tơ \(\overrightarrow{AC}\) trong hình thoi ABCD Hình thoi ABCD có cạnh \(a\) và \(\widehat{BAD} = 60^\circ\). Trong hình thoi, các đường chéo vuông góc và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo. Đường chéo \(\overrightarrow{AC}\) và \(\overrightarrow{BD}\) cắt nhau tại trung điểm O. Do \(\widehat{BAD} = 60^\circ\), tam giác \(\triangle ABD\) là tam giác đều (vì hình thoi có hai cạnh bằng nhau và góc giữa hai cạnh là \(60^\circ\)). Do đó, \(\overrightarrow{AC}\) là đường chéo lớn hơn và có độ dài gấp đôi độ dài của một cạnh tam giác đều. Độ dài của \(\overrightarrow{AC}\) là: \[ AC = 2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3} \] Phần 2: Tính độ dài của véc tơ \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\) trong tam giác ABC Tam giác ABC vuông tại A, \(\widehat{ABC} = 30^\circ\), và \(BC = a\sqrt{5}\). Trong tam giác vuông, ta có: - \(AB = BC \cdot \sin(30^\circ) = a\sqrt{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{a\sqrt{5}}{2}\) - \(AC = BC \cdot \cos(30^\circ) = a\sqrt{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{15}}{2}\) Véc tơ \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\) có độ dài: \[ |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{\left(\frac{a\sqrt{5}}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{15}}{2}\right)^2} \] \[ = \sqrt{\frac{5a^2}{4} + \frac{15a^2}{4}} = \sqrt{\frac{20a^2}{4}} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5} \] b, Tính \(|\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{CB}| \cdot |\overrightarrow{CD} - \overrightarrow{DA}|\) trong hình vuông ABCD Hình vuông ABCD có tâm O và cạnh \(a\). - Véc tơ \(\overrightarrow{OA}\) là bán kính của đường tròn nội tiếp hình vuông, có độ dài \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\). - Véc tơ \(\overrightarrow{CB}\) có độ dài \(a\). Do đó, \(|\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{CB}|\) là: \[ |\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{CB}| = \left| \frac{a\sqrt{2}}{2} - a \right| = \left| a\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - 1\right) \right| \] - Véc tơ \(\overrightarrow{CD}\) và \(\overrightarrow{DA}\) đều có độ dài \(a\), nhưng ngược hướng nhau, nên: \[ |\overrightarrow{CD} - \overrightarrow{DA}| = |a - (-a)| = |2a| = 2a \] Tích \(|\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{CB}| \cdot |\overrightarrow{CD} - \overrightarrow{DA}|\) là: \[ \left| a\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - 1\right) \right| \cdot 2a = 2a^2 \left| \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 \right| \] Kết quả cuối cùng là: \[ 2a^2 \left| \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 \right| \]