Giải chi tiết giúp tôii với

Để biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Xác định từng đường thẳng tương ứng với các bất phương trình: - Bất phương trình \(3x + y \leq 6\) tương ứng với đường thẳng \(3x + y = 6\). - Bất phương trình \(x + y \leq 4\) tương ứng với đường thẳng \(x + y = 4\). - Bất phương trình \(x \geq 0\) là đường thẳng \(x = 0\) (trục tung). - Bất phương trình \(y \geq 0\) là đường thẳng \(y = 0\) (trục hoành). 2. Vẽ các đường thẳng trên hệ trục tọa độ: - Đường thẳng \(3x + y = 6\): - Khi \(x = 0\), \(y = 6\) (điểm \(A(0, 6)\)). - Khi \(y = 0\), \(x = 2\) (điểm \(B(2, 0)\)). - Vẽ đường thẳng qua hai điểm \(A(0, 6)\) và \(B(2, 0)\). - Đường thẳng \(x + y = 4\): - Khi \(x = 0\), \(y = 4\) (điểm \(C(0, 4)\)). - Khi \(y = 0\), \(x = 4\) (điểm \(D(4, 0)\)). - Vẽ đường thẳng qua hai điểm \(C(0, 4)\) và \(D(4, 0)\). - Đường thẳng \(x = 0\) là trục tung. - Đường thẳng \(y = 0\) là trục hoành. 3. Xác định miền nghiệm của từng bất phương trình: - Đối với bất phương trình \(3x + y \leq 6\), miền nghiệm là nửa mặt phẳng dưới đường thẳng \(3x + y = 6\). - Đối với bất phương trình \(x + y \leq 4\), miền nghiệm là nửa mặt phẳng dưới đường thẳng \(x + y = 4\). - Đối với bất phương trình \(x \geq 0\), miền nghiệm là nửa mặt phẳng bên phải trục tung. - Đối với bất phương trình \(y \geq 0\), miền nghiệm là nửa mặt phẳng bên trên trục hoành. 4. Xác định miền nghiệm chung của hệ bất phương trình: Miền nghiệm chung là phần giao của tất cả các miền nghiệm trên. Đó là vùng đa giác giới hạn bởi các đoạn thẳng: - Đoạn \(AB\) từ \(A(0, 6)\) đến \(B(2, 0)\). - Đoạn \(CD\) từ \(C(0, 4)\) đến \(D(4, 0)\). - Trục tung từ \(O(0, 0)\) đến \(C(0, 4)\). - Trục hoành từ \(O(0, 0)\) đến \(B(2, 0)\). 5. Kết luận: Miền nghiệm của hệ bất phương trình là vùng đa giác nằm trong góc phần tư thứ nhất, giới hạn bởi các đoạn thẳng và trục tọa độ như đã mô tả ở trên. Vùng này bao gồm cả các đường biên vì các bất phương trình đều có dấu bằng. Câu 11: Gọi số ha trồng ngô là x (ha), số ha trồng đậu xanh là y (ha). Theo đề bài ta có: - Số ngày công để trồng ngô là 20x (ngày) - Số ngày công để trồng đậu xanh là 30y (ngày) Ta có hệ bất phương trình: \[ \begin{cases} x + y \leq 8 \\ 20x + 30y \leq 180 \end{cases} \] Biểu thức lợi nhuận tổng cộng là: \[ P = 40x + 50y \] Mục tiêu là tối đa hóa biểu thức này trong miền xác định của x và y. Trước tiên, ta sẽ vẽ miền xác định của hệ bất phương trình: 1. \( x + y \leq 8 \) 2. \( 20x + 30y \leq 180 \) Để dễ dàng hơn, ta sẽ viết lại bất phương trình thứ hai dưới dạng: \[ 2x + 3y \leq 18 \] Bây giờ, ta sẽ tìm các điểm giao của các đường thẳng này: - Giao của \( x + y = 8 \) và \( 2x + 3y = 18 \): \[ \begin{cases} x + y = 8 \\ 2x + 3y = 18 \end{cases} \] Nhân phương trình đầu tiên với 2: \[ \begin{cases} 2x + 2y = 16 \\ 2x + 3y = 18 \end{cases} \] Trừ hai phương trình: \[ y = 2 \] Thay \( y = 2 \) vào \( x + y = 8 \): \[ x = 6 \] Vậy điểm giao là (6, 2). Các điểm còn lại là: - Giao của \( x + y = 8 \) với trục \( x \): \( (8, 0) \) - Giao của \( 2x + 3y = 18 \) với trục \( y \): \( (0, 6) \) Bây giờ, ta sẽ kiểm tra giá trị của biểu thức lợi nhuận tại các điểm này: - Tại \( (6, 2) \): \[ P = 40(6) + 50(2) = 240 + 100 = 340 \text{ triệu đồng} \] - Tại \( (8, 0) \): \[ P = 40(8) + 50(0) = 320 \text{ triệu đồng} \] - Tại \( (0, 6) \): \[ P = 40(0) + 50(6) = 300 \text{ triệu đồng} \] Do đó, giá trị lớn nhất của biểu thức lợi nhuận là 340 triệu đồng, đạt được khi \( x = 6 \) và \( y = 2 \). Vậy, bác Năm nên trồng 6 ha ngô và 2 ha đậu xanh để thu được nhiều tiền nhất. Câu 12: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp lập hệ bất phương trình và tìm giá trị nhỏ nhất của hàm mục tiêu. Bước 1: Đặt ẩn số Gọi x là số ki-lô-gam thịt bò mà gia đình mua. Gọi y là số ki-lô-gam thịt lợn mà gia đình mua. Bước 2: Lập hệ bất phương trình - Điều kiện về lượng protein: \[ 800x + 600y \geq 900 \] - Điều kiện về lượng lipit: \[ 200x + 400y \geq 400 \] - Điều kiện về số lượng thịt bò: \[ 0 \leq x \leq 1,6 \] - Điều kiện về số lượng thịt lợn: \[ 0 \leq y \leq 1,1 \] Bước 3: Hàm mục tiêu Chi phí tổng cộng là: \[ C = 200000x + 160000y \] Mục tiêu là tìm giá trị nhỏ nhất của C. Bước 4: Giải hệ bất phương trình Chúng ta sẽ kiểm tra các điểm biên của miền可行 (miền khả thi) để tìm giá trị nhỏ nhất của C. 1. Kiểm tra tại \( x = 0 \): - \( 600y \geq 900 \Rightarrow y \geq 1,5 \) (không thỏa mãn vì \( y \leq 1,1 \)) 2. Kiểm tra tại \( x = 1,6 \): - \( 800(1,6) + 600y \geq 900 \Rightarrow 1280 + 600y \geq 900 \Rightarrow 600y \geq -380 \) (luôn đúng) - \( 200(1,6) + 400y \geq 400 \Rightarrow 320 + 400y \geq 400 \Rightarrow 400y \geq 80 \Rightarrow y \geq 0,2 \) - \( 0 \leq y \leq 1,1 \) Vậy \( 0,2 \leq y \leq 1,1 \). 3. Kiểm tra tại \( y = 0 \): - \( 800x \geq 900 \Rightarrow x \geq 1,125 \) (không thỏa mãn vì \( x \leq 1,6 \)) 4. Kiểm tra tại \( y = 1,1 \): - \( 800x + 600(1,1) \geq 900 \Rightarrow 800x + 660 \geq 900 \Rightarrow 800x \geq 240 \Rightarrow x \geq 0,3 \) - \( 200x + 400(1,1) \geq 400 \Rightarrow 200x + 440 \geq 400 \Rightarrow 200x \geq -40 \) (luôn đúng) - \( 0 \leq x \leq 1,6 \) Vậy \( 0,3 \leq x \leq 1,6 \). Bước 5: Tính chi phí tại các điểm biên 1. Tại \( x = 1,6 \) và \( y = 0,2 \): \[ C = 200000(1,6) + 160000(0,2) = 320000 + 32000 = 352000 \text{ đồng} \] 2. Tại \( x = 0,3 \) và \( y = 1,1 \): \[ C = 200000(0,3) + 160000(1,1) = 60000 + 176000 = 236000 \text{ đồng} \] Bước 6: Kết luận Giá trị nhỏ nhất của chi phí là 236000 đồng, đạt được khi gia đình mua 0,3 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn. Đáp số: Gia đình cần mua 0,3 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn để đảm bảo cung cấp đủ lượng protein, lipit cho gia đình và có chi phí là ít nhất. Câu 13: Để tính đường kính của hồ nước, ta có thể sử dụng định lý cosin trong tam giác \( \triangle ABC \). Bước 1: Áp dụng định lý cosin Trong tam giác \( \triangle ABC \), ta có: \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\widehat{BAC}) \] Thay các giá trị đã biết vào: - \( AB = 8,5 \, \text{m} \) - \( AC = 11,5 \, \text{m} \) - \( \widehat{BAC} = 141^\circ \) \[ BC^2 = 8,5^2 + 11,5^2 - 2 \cdot 8,5 \cdot 11,5 \cdot \cos(141^\circ) \] Bước 2: Tính toán Tính \( \cos(141^\circ) \): \[ \cos(141^\circ) = \cos(180^\circ - 39^\circ) = -\cos(39^\circ) \] Giả sử \( \cos(39^\circ) \approx 0,7771 \), ta có: \[ \cos(141^\circ) = -0,7771 \] Thay vào công thức: \[ BC^2 = 8,5^2 + 11,5^2 + 2 \cdot 8,5 \cdot 11,5 \cdot 0,7771 \] \[ BC^2 = 72,25 + 132,25 + 2 \cdot 8,5 \cdot 11,5 \cdot 0,7771 \] \[ BC^2 = 204,5 + 151,83965 \] \[ BC^2 = 356,33965 \] \[ BC \approx \sqrt{356,33965} \approx 18,88 \, \text{m} \] Bước 3: Tính đường kính Vì \( BC \) là dây cung lớn nhất trong tam giác nội tiếp đường tròn, nên \( BC \) chính là đường kính của hồ. Vậy, đường kính của hồ nước là khoảng \( 18,88 \, \text{m} \). Câu 14: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các định lý lượng giác trong tam giác vuông. Đầu tiên, chúng ta cần xác định các thông tin đã cho và các bước cần thực hiện: 1. Thông tin đã cho: - Chiều cao của đài quan sát so với mặt đất: 5m. - Góc quan sát chân cột: \(40^\circ\). - Góc quan sát đỉnh cột: \(50^\circ\). - Khoảng cách từ chân tòa nhà đến vị trí quan sát: 18m. 2. Mục tiêu: - Tính chiều cao của cột cờ. - Tính chiều cao của tòa nhà. 3. Phân tích bài toán: - Gọi \(H\) là chiều cao của tòa nhà. - Gọi \(h\) là chiều cao của cột cờ. - Gọi \(A\) là vị trí quan sát, \(B\) là chân tòa nhà, \(C\) là chân cột cờ, và \(D\) là đỉnh cột cờ. 4. Sử dụng định lý lượng giác: - Trong tam giác vuông \(ABC\), với góc \(\angle BAC = 40^\circ\), ta có: \[ \tan(40^\circ) = \frac{BC}{AB} = \frac{H}{18} \] Suy ra: \[ H = 18 \times \tan(40^\circ) \] - Trong tam giác vuông \(ABD\), với góc \(\angle BAD = 50^\circ\), ta có: \[ \tan(50^\circ) = \frac{BD}{AB} = \frac{H + h}{18} \] Suy ra: \[ H + h = 18 \times \tan(50^\circ) \] 5. Tính toán: - Tính \(H\): \[ H = 18 \times \tan(40^\circ) \approx 18 \times 0.8391 \approx 15.1038 \, \text{m} \] - Tính \(H + h\): \[ H + h = 18 \times \tan(50^\circ) \approx 18 \times 1.1918 \approx 21.4524 \, \text{m} \] - Tính \(h\) (chiều cao cột cờ): \[ h = (H + h) - H = 21.4524 - 15.1038 \approx 6.3486 \, \text{m} \] 6. Kết luận: - Chiều cao của tòa nhà là khoảng 15.1m. - Chiều cao của cột cờ là khoảng 6.35m. Câu 15: Để giải các bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác cơ bản và các tính chất của các góc đặc biệt. Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng biểu thức: a) \( A = \cos 0^\circ + \cos 40^\circ + \cos 120^\circ + \cos 140^\circ \) - \(\cos 0^\circ = 1\) - \(\cos 40^\circ = \cos (180^\circ - 140^\circ) = -\cos 140^\circ\) - \(\cos 120^\circ = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}\) - \(\cos 140^\circ = -\cos 40^\circ\) Vậy, \( A = 1 + \cos 40^\circ - \frac{1}{2} - \cos 40^\circ = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \). b) \( B = \sin^2 5^\circ + \sin^2 150^\circ - \sin^2 175^\circ + \sin 180^\circ \) - \(\sin 5^\circ = \sin (180^\circ - 175^\circ) = \sin 175^\circ\) - \(\sin 150^\circ = \sin (180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}\) - \(\sin 180^\circ = 0\) Vậy, \( B = \sin^2 5^\circ + \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \sin^2 5^\circ + 0 = \frac{1}{4} \). c) \( C = \cos 15^\prime + \cos 35^\prime - \sin 75^\prime - \sin 55^\prime \) - Chúng ta cần chuyển đổi phút sang độ: \( 15^\prime = \frac{15}{60}^\circ = 0.25^\circ \) và tương tự cho các góc khác. - Tuy nhiên, các giá trị này rất nhỏ và không có công thức lượng giác đơn giản cho các góc này, nên có thể có lỗi trong đề bài hoặc cần sử dụng máy tính để tính toán chính xác. d) \( D = \tan 25^\circ \cdot \tan 45^\circ \cdot \tan 115^\circ \) - \(\tan 45^\circ = 1\) - \(\tan 115^\circ = \tan (180^\circ - 65^\circ) = -\tan 65^\circ\) Sử dụng tính chất \(\tan (90^\circ + x) = -\cot x\), ta có: - \(\tan 115^\circ = -\cot 25^\circ\) Vậy, \( D = \tan 25^\circ \cdot 1 \cdot (-\cot 25^\circ) = -1 \). e) \( E = \cot 10^\circ \cdot \cot 30^\circ \cdot \cot 100^\circ \) - \(\cot 30^\circ = \frac{1}{\tan 30^\circ} = \sqrt{3}\) - \(\cot 100^\circ = \cot (180^\circ - 80^\circ) = -\cot 80^\circ\) Sử dụng tính chất \(\cot (90^\circ + x) = -\tan x\), ta có: - \(\cot 100^\circ = -\tan 10^\circ\) Vậy, \( E = \cot 10^\circ \cdot \sqrt{3} \cdot (-\tan 10^\circ) = -\sqrt{3} \). Hy vọng lời giải trên giúp bạn hiểu rõ hơn về cách tính toán các biểu thức lượng giác này. Câu 16: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các định lý lượng giác cơ bản, cụ thể là định lý về góc và cạnh trong tam giác vuông. Bước 1: Xác định các thông số và vẽ hình - Gọi \( A \) là vị trí quan sát của anh Bắc trên đài quan sát. - Gọi \( B \) là chân của tòa nhà. - Gọi \( C \) là chân của cột cờ. - Gọi \( D \) là đỉnh của cột cờ. Từ đề bài, ta có: - \( AB = 18 \) m (khoảng cách từ chân tòa nhà đến vị trí quan sát). - \( AE = 5 \) m (chiều cao của đài quan sát so với mặt đất). - Góc \( \angle BAC = 40^\circ \). - Góc \( \angle BAD = 50^\circ \). Bước 2: Tính chiều cao của tòa nhà Sử dụng tam giác vuông \( \triangle ABE \), ta có: - \( \tan \angle BAC = \frac{BE}{AB} \). Do đó: \[ \tan 40^\circ = \frac{BE}{18} \] Suy ra: \[ BE = 18 \times \tan 40^\circ \] Bước 3: Tính chiều cao của cột cờ Sử dụng tam giác vuông \( \triangle ABD \), ta có: - \( \tan \angle BAD = \frac{BD}{AB} \). Do đó: \[ \tan 50^\circ = \frac{BD}{18} \] Suy ra: \[ BD = 18 \times \tan 50^\circ \] Bước 4: Tính chiều cao của cột cờ và tòa nhà Chiều cao của cột cờ \( CD \) là: \[ CD = BD - BE \] Chiều cao của tòa nhà \( BC \) là: \[ BC = BE + AE \] Bước 5: Tính toán cụ thể 1. Tính \( BE \): \[ BE = 18 \times \tan 40^\circ \approx 18 \times 0.8391 \approx 15.1038 \, \text{m} \] 2. Tính \( BD \): \[ BD = 18 \times \tan 50^\circ \approx 18 \times 1.1918 \approx 21.4524 \, \text{m} \] 3. Tính \( CD \): \[ CD = BD - BE \approx 21.4524 - 15.1038 \approx 6.3486 \, \text{m} \] 4. Tính \( BC \): \[ BC = BE + AE \approx 15.1038 + 5 = 20.1038 \, \text{m} \] Kết luận - Chiều cao của cột cờ là khoảng \( 6.35 \) m. - Chiều cao của tòa nhà là khoảng \( 20.10 \) m.