giải chi tiết câu hỏi đúng/sai

Câu 1: Để tính các giá trị lượng giác còn lại của góc \( x \), chúng ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác cơ bản và điều kiện cho trước. Dưới đây là cách giải cho từng trường hợp: a) \(\cos x > 0\) Khi \(\cos x > 0\), góc \( x \) nằm ở góc phần tư thứ nhất hoặc thứ tư. Tuy nhiên, vì không có thông tin cụ thể hơn, chúng ta chỉ biết rằng \(\cos x\) dương. b) \(\cos x = -\frac{4}{5}\) 1. Điều kiện xác định: \(\cos x = -\frac{4}{5}\) cho thấy \( x \) nằm ở góc phần tư thứ hai hoặc thứ ba, vì \(\cos x\) âm. 2. Tính \(\sin x\): Sử dụng công thức \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\): \[ \sin^2 x = 1 - \left(-\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} \] \[ \sin x = \pm \frac{3}{5} \] Vì \( x \) nằm ở góc phần tư thứ hai hoặc thứ ba, \(\sin x\) dương ở góc phần tư thứ hai và âm ở góc phần tư thứ ba. Do đó, \(\sin x = \frac{3}{5}\) hoặc \(\sin x = -\frac{3}{5}\). 3. Tính \(\tan x\): \[ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\pm \frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = \mp \frac{3}{4} \] c) \(\tan x = \frac{3}{4}\) 1. Điều kiện xác định: \(\tan x = \frac{3}{4}\) cho thấy \( x \) nằm ở góc phần tư thứ nhất hoặc thứ ba, vì \(\tan x\) dương. 2. Tính \(\sin x\) và \(\cos x\): Sử dụng công thức \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\), ta có: \[ \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{3}{4} \Rightarrow 4\sin x = 3\cos x \] Sử dụng công thức \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\): \[ \left(\frac{3}{4}\cos x\right)^2 + \cos^2 x = 1 \] \[ \frac{9}{16}\cos^2 x + \cos^2 x = 1 \] \[ \frac{25}{16}\cos^2 x = 1 \Rightarrow \cos^2 x = \frac{16}{25} \Rightarrow \cos x = \pm \frac{4}{5} \] Vì \(\tan x\) dương, \(\cos x\) dương ở góc phần tư thứ nhất và âm ở góc phần tư thứ ba. Do đó, \(\cos x = \frac{4}{5}\). Từ \(\cos x = \frac{4}{5}\), ta có: \[ \sin x = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{3}{5} \] d) \(\cot x = \frac{4}{3}\) 1. Điều kiện xác định: \(\cot x = \frac{4}{3}\) cho thấy \( x \) nằm ở góc phần tư thứ nhất hoặc thứ ba, vì \(\cot x\) dương. 2. Tính \(\sin x\) và \(\cos x\): Sử dụng công thức \(\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}\), ta có: \[ \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{4}{3} \Rightarrow 3\cos x = 4\sin x \] Sử dụng công thức \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\): \[ \left(\frac{3}{4}\sin x\right)^2 + \sin^2 x = 1 \] \[ \frac{9}{16}\sin^2 x + \sin^2 x = 1 \] \[ \frac{25}{16}\sin^2 x = 1 \Rightarrow \sin^2 x = \frac{16}{25} \Rightarrow \sin x = \pm \frac{4}{5} \] Vì \(\cot x\) dương, \(\sin x\) dương ở góc phần tư thứ nhất và âm ở góc phần tư thứ ba. Do đó, \(\sin x = \frac{4}{5}\). Từ \(\sin x = \frac{4}{5}\), ta có: \[ \cos x = \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{3}{5} \] Trên đây là cách tính các giá trị lượng giác còn lại của góc \( x \) cho từng trường hợp. Câu 2: Để giải phương trình lượng giác \(\sin 2x = -\frac{1}{2}\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các góc cơ bản: Ta biết rằng \(\sin \theta = -\frac{1}{2}\) tại các góc \(\theta = \frac{7\pi}{6}\) và \(\theta = \frac{11\pi}{6}\) trong khoảng \([0, 2\pi)\). 2. Viết lại phương trình: Do đó, phương trình \(\sin 2x = -\frac{1}{2}\) tương đương với: \[ 2x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{hoặc} \quad 2x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] 3. Giải cho \(x\): Chia cả hai vế cho 2, ta được: \[ x = \frac{7\pi}{12} + k\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{11\pi}{12} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] 4. Tìm nghiệm trong khoảng \((0, \pi)\): - Với \(k = 0\): \[ x = \frac{7\pi}{12} \quad \text{và} \quad x = \frac{11\pi}{12} \] - Với \(k = 1\): \[ x = \frac{7\pi}{12} + \pi = \frac{19\pi}{12} \quad (\text{nằm ngoài khoảng } (0, \pi)) \] \[ x = \frac{11\pi}{12} + \pi = \frac{23\pi}{12} \quad (\text{nằm ngoài khoảng } (0, \pi)) \] Vậy trong khoảng \((0, \pi)\), các nghiệm của phương trình là: \[ x = \frac{7\pi}{12} \quad \text{và} \quad x = \frac{11\pi}{12} \] 5. Kiểm tra các khẳng định: - Khẳng định a: Phương trình \(\sin 2x = -\frac{1}{2}\) không tương đương với \(\sin 2x = \sin \frac{\pi}{6}\) vì \(\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\), không phải \(-\frac{1}{2}\). - Khẳng định b: Trong khoảng \((0, \pi)\), phương trình có 2 nghiệm, không phải 3 nghiệm. - Khẳng định c: Tổng các nghiệm trong khoảng \((0, \pi)\) là: \[ \frac{7\pi}{12} + \frac{11\pi}{12} = \frac{18\pi}{12} = \frac{3\pi}{2} \] Khẳng định này đúng. - Khẳng định d: Nghiệm lớn nhất trong khoảng \((0, \pi)\) là \(\frac{11\pi}{12}\), không phải \(\frac{11\pi}{12}\). Kết luận: - Đáp án đúng là: c) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng \((0; \pi)\) bằng \(\frac{3\pi}{2}\). Câu 3: Để giải phương trình lượng giác \(\tan(2x - 15^\circ) = 1\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định nghiệm cơ bản của phương trình \(\tan(2x - 15^\circ) = 1\): Ta biết rằng \(\tan \theta = 1\) khi \(\theta = 45^\circ + k \cdot 180^\circ\) với \(k \in \mathbb{Z}\). 2. Thay \(\theta\) bằng \(2x - 15^\circ\): \[ 2x - 15^\circ = 45^\circ + k \cdot 180^\circ \] 3. Giải phương trình để tìm \(x\): \[ 2x = 45^\circ + 15^\circ + k \cdot 180^\circ \] \[ 2x = 60^\circ + k \cdot 180^\circ \] \[ x = 30^\circ + k \cdot 90^\circ \] 4. Kiểm tra các đáp án: a) Phương trình có nghiệm \(x = 30^\circ + k \cdot 90^\circ\) với \(k \in \mathbb{Z}\): Đúng, vì đây chính là nghiệm tổng quát của phương trình. b) Phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng \(-30^\circ\): Sai, vì nghiệm âm lớn nhất trong khoảng \((-180^\circ, 90^\circ)\) là \(-150^\circ\) (khi \(k = -2\)). c) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng \((-180^\circ, 90^\circ)\) bằng \(180^\circ\): Ta cần kiểm tra các nghiệm trong khoảng này: \[ x = 30^\circ + k \cdot 90^\circ \] Các giá trị \(k\) trong khoảng \((-180^\circ, 90^\circ)\) là \(k = -2, -1, 0, 1\): \[ x = 30^\circ - 180^\circ = -150^\circ \] \[ x = 30^\circ - 90^\circ = -60^\circ \] \[ x = 30^\circ \] \[ x = 30^\circ + 90^\circ = 120^\circ \quad (\text{không nằm trong khoảng}) \] Tổng các nghiệm trong khoảng \((-180^\circ, 90^\circ)\) là: \[ -150^\circ + (-60^\circ) + 30^\circ = -180^\circ \] Sai, vì tổng các nghiệm là \(-180^\circ\), không phải \(180^\circ\). d) Trong khoảng \((-180^\circ, 90^\circ)\) phương trình có nghiệm lớn nhất bằng: Nghiệm lớn nhất trong khoảng này là \(30^\circ\). Vậy đáp án đúng là: a) Phương trình có nghiệm \(x = 30^\circ + k \cdot 90^\circ\) với \(k \in \mathbb{Z}\). Câu 4: Để giải phương trình lượng giác \(\cot 3x = -\frac{1}{\sqrt{3}}\), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định giá trị của \(\cot 3x\) Ta biết rằng \(\cot \theta = -\frac{1}{\sqrt{3}}\) khi \(\theta = \frac{-\pi}{6} + k\pi\) (với \(k \in \mathbb{Z}\)). Bước 2: Viết lại phương trình Do đó, phương trình \(\cot 3x = -\frac{1}{\sqrt{3}}\) tương đương với: \[ 3x = \frac{-\pi}{6} + k\pi \] \[ x = \frac{-\pi}{18} + \frac{k\pi}{3} \] Bước 3: Tìm nghiệm trong khoảng \((- \frac{\pi}{2}; 0)\) Ta cần tìm các giá trị của \(k\) sao cho \(x\) nằm trong khoảng \((- \frac{\pi}{2}; 0)\). - Khi \(k = 0\): \[ x = \frac{-\pi}{18} \] Đây là một nghiệm trong khoảng \((- \frac{\pi}{2}; 0)\). - Khi \(k = 1\): \[ x = \frac{-\pi}{18} + \frac{\pi}{3} = \frac{-\pi}{18} + \frac{6\pi}{18} = \frac{5\pi}{18} \] Đây không phải là nghiệm trong khoảng \((- \frac{\pi}{2}; 0)\). - Khi \(k = -1\): \[ x = \frac{-\pi}{18} - \frac{\pi}{3} = \frac{-\pi}{18} - \frac{6\pi}{18} = \frac{-7\pi}{18} \] Đây không phải là nghiệm trong khoảng \((- \frac{\pi}{2}; 0)\). Vậy, trong khoảng \((- \frac{\pi}{2}; 0)\), chỉ có một nghiệm là \(x = \frac{-\pi}{18}\). Bước 4: Kiểm tra các đáp án a) Phương trình \(()\) tương đương \(\cot 3x = \cot(\frac{-\pi}{6})\): Đúng, vì \(\cot 3x = -\frac{1}{\sqrt{3}}\) tương đương với \(\cot 3x = \cot(\frac{-\pi}{6})\). b) Phương trình \(()\) có nghiệm \(x = \frac{\pi}{9} + k\frac{\pi}{3}\) (với \(k \in \mathbb{Z}\)): Sai, vì nghiệm đúng là \(x = \frac{-\pi}{18} + \frac{k\pi}{3}\). c) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng \((- \frac{\pi}{2}; 0)\) bằng \(\frac{-5\pi}{9}\): Sai, vì chỉ có một nghiệm \(x = \frac{-\pi}{18}\) trong khoảng này. d) Phương trình có nghiệm dương nhỏ nhất bằng \(\frac{2\pi}{9}\): Sai, vì nghiệm dương nhỏ nhất là \(x = \frac{\pi}{9}\). Kết luận Câu trả lời đúng là: a) Phương trình \(()\) tương đương \(\cot 3x = \cot(\frac{-\pi}{6})\). Câu 5: Ta có: a) Đúng vì năm số hạng đầu tiên của dãy số là \( u_1 = -\frac{1}{2}; u_2 = -\frac{2}{3}; u_3 = -\frac{3}{4}; u_4 = -\frac{4}{5}; u_5 = -\frac{5}{6} \) b) Đúng vì số hạng \( u_{10}, u_{100} \) lần lượt là \( -\frac{10}{11}; -\frac{100}{101} \) c) Sai vì \( -\frac{85}{86} \) là số hạng thứ 85 của dãy số \( (u_n) \) d) Đúng vì \( -\frac{99}{101} \) là một số hạng của dãy số \( (u_n) \) Câu 6: Ta có: \[ \begin{cases} u_1 = -1 \\ u_{n+1} = u_n + 3 \quad \text{với } n \geq 1 \end{cases} \] Bây giờ ta sẽ tính vài số hạng đầu tiên để thấy quy luật: - \( u_1 = -1 \) - \( u_2 = u_1 + 3 = -1 + 3 = 2 \) - \( u_3 = u_2 + 3 = 2 + 3 = 5 \) - \( u_4 = u_3 + 3 = 5 + 3 = 8 \) Nhận thấy rằng mỗi số hạng sau đều tăng thêm 3 đơn vị so với số hạng trước. Ta có thể suy ra công thức tổng quát cho \( u_n \). Công thức tổng quát của dãy số này là: \[ u_n = u_1 + (n-1) \cdot 3 \] Thay \( u_1 = -1 \) vào công thức trên, ta được: \[ u_n = -1 + (n-1) \cdot 3 = -1 + 3n - 3 = 3n - 4 \] Vậy công thức tổng quát của dãy số là: \[ u_n = 3n - 4 \]