không cần giải

Câu 1: Để đổi số đo góc từ độ sang radian, ta sử dụng công thức chuyển đổi: \[ \text{Số đo radian} = \text{Số đo độ} \times \frac{\pi}{180^\circ} \] Trong bài toán này, góc có số đo là \(108^\circ\). Áp dụng công thức trên, ta có: \[ 108^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{108 \times \pi}{180} \] Rút gọn phân số \(\frac{108}{180}\): - Tìm ước chung lớn nhất (ƯCLN) của 108 và 180. Ta thấy 108 và 180 đều chia hết cho 36. - Chia cả tử và mẫu cho 36: \[ \frac{108}{180} = \frac{108 \div 36}{180 \div 36} = \frac{3}{5} \] Vậy số đo góc \(108^\circ\) đổi sang radian là: \[ \frac{3\pi}{5} \] Do đó, đáp án đúng là \(D.~\frac{3\pi}{5}\). Câu 2: Để chuyển đổi số đo góc từ độ sang radian, ta sử dụng công thức: \[ \text{Số đo góc (radian)} = \text{Số đo góc (độ)} \times \frac{\pi}{180^\circ} \] Ở đây, ta cần chuyển đổi góc \(315^\circ\) sang radian. Áp dụng công thức: \[ 315^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{315 \times \pi}{180} \] Rút gọn phân số \(\frac{315}{180}\): - Tìm ước chung lớn nhất của 315 và 180. Ta thấy ước chung lớn nhất là 45. - Chia cả tử và mẫu cho 45: \[ \frac{315}{180} = \frac{315 \div 45}{180 \div 45} = \frac{7}{4} \] Vậy số đo góc \(315^\circ\) theo đơn vị radian là: \[ \frac{7\pi}{4} \] Do đó, đáp án đúng là \(B.~\frac{7\pi}{4}.\) Câu 3: Để đổi góc từ radian sang độ, ta sử dụng công thức chuyển đổi: \[ 1 \text{ radian} = \frac{180^\circ}{\pi} \] Do đó, góc có số đo \(\frac{2\pi}{5}\) radian sẽ được đổi sang độ như sau: \[ \frac{2\pi}{5} \text{ radian} = \frac{2\pi}{5} \times \frac{180^\circ}{\pi} \] Khi thực hiện phép nhân, ta có: \[ = \frac{2 \times 180^\circ}{5} \] \[ = \frac{360^\circ}{5} \] \[ = 72^\circ \] Vậy, góc có số đo \(\frac{2\pi}{5}\) radian đổi sang độ là \(72^\circ\). Do đó, đáp án đúng là \(C.~72^0.\) Câu 4: Để xác định khẳng định nào là đúng trong các khẳng định đã cho, chúng ta sẽ sử dụng công thức lượng giác cơ bản về góc cộng và góc trừ. Công thức lượng giác cho tổng và hiệu của hai góc: - Công thức cho tổng của hai góc: \[ \sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b \] - Công thức cho hiệu của hai góc: \[ \sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b \] Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định: A. \(\sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b\) Đây là công thức đúng cho hiệu của hai góc. B. \(\sin(a - b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b\) Đây là sai vì công thức đúng cho hiệu của hai góc là \(\sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b\). C. \(\sin(a + b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b\) Đây là sai vì công thức đúng cho tổng của hai góc là \(\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b\). D. \(\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b\) Đây là công thức đúng cho tổng của hai góc. Vậy khẳng định đúng là: A. \(\sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b\) Đáp án: A. \(\sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b\) Câu 5: Để xác định khẳng định nào là sai, chúng ta cần kiểm tra từng khẳng định một dựa trên các công thức lượng giác cơ bản. Khẳng định A: \(\cos 2a = \sin^2 a - \cos^2 a\) Công thức đúng cho \(\cos 2a\) là: \[ \cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a \] Khẳng định A là sai vì nó đảo ngược vị trí của \(\sin^2 a\) và \(\cos^2 a\). Khẳng định B: \(\cos 2a = 2\cos^2 a - 1\) Công thức này là một trong những công thức biến đổi của \(\cos 2a\): \[ \cos 2a = 2\cos^2 a - 1 \] Khẳng định B là đúng. Khẳng định C: \(\cos 2a = 1 - 2\sin^2 a\) Đây cũng là một công thức biến đổi khác của \(\cos 2a\): \[ \cos 2a = 1 - 2\sin^2 a \] Khẳng định C là đúng. Khẳng định D: \(\sin 2a = 2\sin a \cos a\) Công thức này là công thức đúng cho \(\sin 2a\): \[ \sin 2a = 2\sin a \cos a \] Khẳng định D là đúng. Tóm lại, khẳng định sai là khẳng định A: \(\cos 2a = \sin^2 a - \cos^2 a\). Câu 6: Phương trình $\cos x = -1$ có nghiệm khi $x$ nằm ở vị trí trên đường tròn lượng giác sao cho giá trị cosinus của nó bằng -1. Biết rằng: - Cosinus của góc $\pi$ là -1. - Các nghiệm khác sẽ lặp lại theo chu kỳ $2\pi$. Do đó, nghiệm của phương trình $\cos x = -1$ là: \[ x = \pi + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \] Vậy đáp án đúng là: \[ C.~x=\pi+k2\pi,~k\in\mathbb{Z}. \] Câu 7: Để tính độ dài của cung trên đường tròn, ta sử dụng công thức tính độ dài cung tròn: \[ L = r \cdot \theta \] trong đó: - \( L \) là độ dài của cung tròn, - \( r \) là bán kính của đường tròn, - \( \theta \) là số đo của cung tròn tính bằng radian. Theo đề bài, bán kính \( r = 30 \) cm và số đo của cung tròn \( \theta = \frac{\pi}{3} \). Áp dụng công thức, ta có: \[ L = 30 \cdot \frac{\pi}{3} = 10\pi \] Vậy độ dài của cung tròn là \( 10\pi \) cm. Do đó, đáp án đúng là \( A.~10\pi(cm) \). Câu 8: Để xác định dãy số $(u_n)$ là dãy số tăng, ta cần kiểm tra mối quan hệ giữa các số hạng liên tiếp của dãy số. Một dãy số $(u_n)$ được gọi là dãy số tăng nếu mỗi số hạng sau đều lớn hơn số hạng trước nó. Điều này có nghĩa là: \[ u_n < u_{n+1} \quad \text{với mọi } n \in \mathbb{N}^.\] Do đó, đáp án đúng là: \[ A.~u_n < u_{n+1},~\forall n \in \mathbb{N}^.\] Lập luận chi tiết: - Xét dãy số $(u_n)$. - Để dãy số $(u_n)$ là dãy số tăng, ta cần có $u_n < u_{n+1}$ với mọi $n \in \mathbb{N}^$. - Các đáp án khác không thỏa mãn điều kiện này: - Đáp án B: $u_n > u_{n+1}$ là điều kiện của dãy số giảm. - Đáp án C: $u_n \geq u_{n+1}$ là điều kiện của dãy số không tăng. - Đáp án D: $u_n \leq u_{n+1}$ là điều kiện của dãy số không giảm. Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{A.~u_n < u_{n+1},~\forall n \in \mathbb{N}^}. \] Câu 9: Phương trình $\sin x = 1$ có nghiệm tổng quát là: \[ x = \frac{\pi}{2} + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \] Lập luận từng bước: 1. Ta biết rằng $\sin x = 1$ khi $x$ nằm ở góc phần tư thứ nhất của đường tròn lượng giác, tức là tại $x = \frac{\pi}{2}$. 2. Vì hàm số sin là hàm tuần hoàn với chu kỳ $2\pi$, nên tất cả các nghiệm của phương trình $\sin x = 1$ sẽ là: \[ x = \frac{\pi}{2} + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \] Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~\frac\pi2+k2\pi,~k\in\mathbb{Z}. \]