không cần giải

Câu 1: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) của bài toán. 2. Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức hoặc hàm số. 3. Đặt ẩn số và điều kiện thích hợp cho ẩn số nếu cần thiết. 4. Giải phương trình hoặc hệ phương trình theo phương pháp phù hợp. 5. Kết luận các nghiệm của phương trình một ẩn. 6. Biểu diễn phân số bằng LaTeX. Vì đề bài yêu cầu lập luận từng bước nhưng không cung cấp cụ thể bài toán nào, tôi sẽ giả sử một bài toán mẫu để minh họa cách giải theo các quy tắc đã nêu. Bài toán mẫu: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = -x^2 + 4x - 3 \). Giải: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): Hàm số \( f(x) = -x^2 + 4x - 3 \) là một đa thức, do đó nó xác định trên toàn bộ tập số thực \( \mathbb{R} \). 2. Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số: Hàm số \( f(x) = -x^2 + 4x - 3 \) là một parabol mở xuống vì hệ số của \( x^2 \) là âm. Do đó, hàm số có giá trị lớn nhất tại đỉnh của parabol. Để tìm đỉnh của parabol, ta sử dụng công thức \( x = -\frac{b}{2a} \): \[ x = -\frac{4}{2(-1)} = 2 \] Thay \( x = 2 \) vào hàm số để tìm giá trị lớn nhất: \[ f(2) = -(2)^2 + 4(2) - 3 = -4 + 8 - 3 = 1 \] Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 1, đạt được khi \( x = 2 \). Vì hàm số là parabol mở xuống, không có giá trị nhỏ nhất trên toàn bộ tập số thực \( \mathbb{R} \). 3. Kết luận: Giá trị lớn nhất của hàm số là 1, đạt được khi \( x = 2 \). Đáp số: Giá trị lớn nhất của hàm số là 1, đạt được khi \( x = 2 \). Bài 1.18: Xin chào! Bạn có bài toán cụ thể nào cần giải không? Nếu có, hãy cung cấp thông tin chi tiết để mình có thể giúp bạn giải quyết bài toán đó một cách chính xác và hiệu quả nhất. Câu 2: Xin chào! Để giúp bạn tốt nhất, mình cần biết cụ thể bài toán bạn đang gặp phải trên trang 46 của sách giáo khoa "Kết nối tri thức". Nếu bạn có thể cung cấp nội dung bài toán hoặc một phần của nó, mình sẽ hướng dẫn bạn từng bước để giải quyết. Bài 1.22: a) Mức thưởng tết trung bình: Ta tính trung bình cộng của các mức thưởng tết của các công nhân trong nhà máy. Trước tiên, ta cần biết tổng số tiền thưởng của tất cả các công nhân và tổng số công nhân. Tổng số tiền thưởng của tất cả các công nhân: = 19 5 + 30 10 + 42 15 + 6 20 + 3 25 = 95 + 300 + 630 + 120 + 75 = 1220 (triệu đồng) Tổng số công nhân: = 19 + 30 + 42 + 6 + 3 = 100 (công nhân) Mức thưởng tết trung bình: = Tổng số tiền thưởng / Tổng số công nhân = 1220 / 100 = 12.2 (triệu đồng) b) Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm: Mốt là giá trị xuất hiện nhiều nhất trong mẫu số liệu. Trong trường hợp này, mốt sẽ là khoảng giá trị có số lượng công nhân nhiều nhất. Khoảng giá trị [15:200 có số lượng công nhân nhiều nhất (42 công nhân). c) Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên: Trung vị là giá trị nằm ở giữa của mẫu số liệu khi sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Để tìm trung vị, ta cần biết vị trí của nó trong mẫu số liệu. Vị trí của trung vị: = (Tổng số công nhân + 1) / 2 = (100 + 1) / 2 = 50.5 Trung vị nằm trong khoảng giá trị [15:200 vì khoảng này có số lượng công nhân nhiều nhất và vị trí của trung vị nằm trong khoảng này. d) 25% số công nhân có mức thưởng tết (triệu đồng) cao nhất là bao nhiêu? Để tìm 25% số công nhân có mức thưởng tết cao nhất, ta cần biết số lượng công nhân có mức thưởng tết cao nhất. Số lượng công nhân có mức thưởng tết cao nhất: = 3 (công nhân) 25% số công nhân có mức thưởng tết cao nhất: = 3 25% = 0.75 (công nhân) Vậy 25% số công nhân có mức thưởng tết cao nhất là 0.75 công nhân. Câu 3: Để giải bài toán này, ta cần biến đổi biểu thức $A = \frac{\cos 8x + \cos 3x}{\sin 8x + \sin 3x}$ về dạng $\cot \frac{m}{n}x$. Bước 1: Sử dụng công thức cộng góc Ta có công thức cộng góc cho cos và sin như sau: - $\cos a + \cos b = 2 \cos \left(\frac{a+b}{2}\right) \cos \left(\frac{a-b}{2}\right)$ - $\sin a + \sin b = 2 \sin \left(\frac{a+b}{2}\right) \cos \left(\frac{a-b}{2}\right)$ Áp dụng cho $\cos 8x + \cos 3x$ và $\sin 8x + \sin 3x$: - $\cos 8x + \cos 3x = 2 \cos \left(\frac{8x + 3x}{2}\right) \cos \left(\frac{8x - 3x}{2}\right) = 2 \cos \left(\frac{11x}{2}\right) \cos \left(\frac{5x}{2}\right)$ - $\sin 8x + \sin 3x = 2 \sin \left(\frac{8x + 3x}{2}\right) \cos \left(\frac{8x - 3x}{2}\right) = 2 \sin \left(\frac{11x}{2}\right) \cos \left(\frac{5x}{2}\right)$ Bước 2: Đơn giản hóa biểu thức Biểu thức $A$ trở thành: \[ A = \frac{2 \cos \left(\frac{11x}{2}\right) \cos \left(\frac{5x}{2}\right)}{2 \sin \left(\frac{11x}{2}\right) \cos \left(\frac{5x}{2}\right)} \] Ta có thể rút gọn $\cos \left(\frac{5x}{2}\right)$ ở cả tử và mẫu (với điều kiện $\cos \left(\frac{5x}{2}\right) \neq 0$): \[ A = \frac{\cos \left(\frac{11x}{2}\right)}{\sin \left(\frac{11x}{2}\right)} = \cot \left(\frac{11x}{2}\right) \] Bước 3: Xác định $\frac{m}{n}$ Từ biểu thức trên, ta thấy $A = \cot \left(\frac{11x}{2}\right)$, do đó $\frac{m}{n} = \frac{11}{2}$. Bước 4: Tính $m+n$ Với $\frac{m}{n} = \frac{11}{2}$, ta có $m = 11$ và $n = 2$. Vậy $m+n = 11 + 2 = 13$. Kết luận: Giá trị của $m+n$ là 13. Bài 2.6: Để ba số \(2x - 1\), \(x\), và \(2x + 1\) theo thứ tự lập thành một cấp số nhân, ta cần thỏa mãn điều kiện của cấp số nhân: Tích của hai số liên tiếp bằng bình phương của số ở giữa. Cụ thể, ta có: \[ x^2 = (2x - 1)(2x + 1) \] Bây giờ, ta sẽ giải phương trình này từng bước: 1. Mở rộng vế phải: \[ x^2 = (2x - 1)(2x + 1) \] \[ x^2 = 4x^2 - 1 \] 2. Chuyển tất cả các hạng tử về một vế để tạo thành phương trình bậc hai: \[ x^2 - 4x^2 + 1 = 0 \] \[ -3x^2 + 1 = 0 \] 3. Chuyển \(1\) sang vế phải: \[ -3x^2 = -1 \] 4. Chia cả hai vế cho \(-3\): \[ x^2 = \frac{1}{3} \] 5. Lấy căn bậc hai của cả hai vế: \[ x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} \] \[ x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \] \[ x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} \] Vậy, các giá trị của \(x\) là: \[ x = \frac{\sqrt{3}}{3} \quad \text{hoặc} \quad x = -\frac{\sqrt{3}}{3} \] Câu 4: Để xác định số nghiệm của phương trình \(2\sin x - 1 = 0\) trong đoạn \([0; 100]\), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Giải phương trình \(2\sin x - 1 = 0\). \[2\sin x - 1 = 0 \implies 2\sin x = 1 \implies \sin x = \frac{1}{2}\] Bước 2: Xác định các giá trị của \(x\) thỏa mãn \(\sin x = \frac{1}{2}\). Các giá trị của \(x\) thỏa mãn \(\sin x = \frac{1}{2}\) là: \[x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \quad \text{và} \quad x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z}\] Bước 3: Tìm các giá trị của \(k\) sao cho \(x\) nằm trong đoạn \([0; 100]\). Xét \(x = \frac{\pi}{6} + k2\pi\): \[0 \leq \frac{\pi}{6} + k2\pi \leq 100\] \[-\frac{\pi}{6} \leq k2\pi \leq 100 - \frac{\pi}{6}\] \[-\frac{1}{12} \leq k \leq \frac{100}{2\pi} - \frac{1}{12}\] Tương tự, xét \(x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi\): \[0 \leq \frac{5\pi}{6} + k2\pi \leq 100\] \[-\frac{5\pi}{6} \leq k2\pi \leq 100 - \frac{5\pi}{6}\] \[-\frac{5}{12} \leq k \leq \frac{100}{2\pi} - \frac{5}{12}\] Bước 4: Đếm số giá trị của \(k\) trong mỗi trường hợp. Số giá trị của \(k\) trong khoảng \(-\frac{1}{12} \leq k \leq \frac{100}{2\pi} - \frac{1}{12}\) là: \[k = 0, 1, 2, \ldots, \left\lfloor \frac{100}{2\pi} - \frac{1}{12} \right\rfloor\] Số giá trị của \(k\) trong khoảng \(-\frac{5}{12} \leq k \leq \frac{100}{2\pi} - \frac{5}{12}\) là: \[k = 0, 1, 2, \ldots, \left\lfloor \frac{100}{2\pi} - \frac{5}{12} \right\rfloor\] Bước 5: Tính tổng số nghiệm. Số nghiệm của phương trình \(2\sin x - 1 = 0\) trong đoạn \([0; 100]\) là: \[2 \times \left( \left\lfloor \frac{100}{2\pi} - \frac{1}{12} \right\rfloor + 1 \right)\] Vậy số nghiệm của phương trình \(2\sin x - 1 = 0\) trong đoạn \([0; 100]\) là: \[2 \times \left( \left\lfloor \frac{100}{2\pi} - \frac{1}{12} \right\rfloor + 1 \right)\] Câu 5: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm $\cos x$ từ $\sin x = \frac{1}{4}$ Vì $\sin x = \frac{1}{4}$, ta có thể sử dụng công thức lượng giác cơ bản: \[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \] Thay $\sin x = \frac{1}{4}$ vào, ta có: \[ \left(\frac{1}{4}\right)^2 + \cos^2 x = 1 \] \[ \frac{1}{16} + \cos^2 x = 1 \] \[ \cos^2 x = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16} \] Do đó, $\cos x = \pm \sqrt{\frac{15}{16}} = \pm \frac{\sqrt{15}}{4}$. Bước 2: Tính $\cos 2x$ Sử dụng công thức nhân đôi cho $\cos 2x$: \[ \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 \] Thay $\cos^2 x = \frac{15}{16}$ vào, ta có: \[ \cos 2x = 2 \times \frac{15}{16} - 1 = \frac{30}{16} - 1 = \frac{30}{16} - \frac{16}{16} = \frac{14}{16} = \frac{7}{8} \] Vậy $\cos 2x = \frac{7}{8}$, do đó $a = 7$ và $b = 8$. Bước 3: Tính $a - b$ Từ $a = 7$ và $b = 8$, ta có: \[ a - b = 7 - 8 = -1 \] Kết luận Giá trị của $a - b$ là $-1$.