Anh chị học giỏi giải cho em với

Câu 3: a) Ta có \(-1 \leq \cos x \leq 1\) \(\Rightarrow -7 \leq -7\cos x \leq 7\) \(\Rightarrow -7 + 5 \leq -7\cos x + 5 \leq 7 + 5\) \(\Rightarrow -2 \leq f(x) \leq 12\) Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x)\) là 12, nên khẳng định này sai. b) Hàm số \(y = \cos x\) là hàm số tuần hoàn với chu kỳ \(2\pi\). Do đó, hàm số \(f(x) = -7\cos x + 5\) cũng là hàm số tuần hoàn với chu kỳ \(2\pi\). Khẳng định này đúng. c) Ta có \(f(-x) = -7\cos(-x) + 5 = -7\cos x + 5 = f(x)\). Vậy hàm số \(f(x)\) là hàm số chẵn. Khẳng định này đúng. d) Hàm số \(y = \cos x\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\). Do đó, hàm số \(f(x) = -7\cos x + 5\) cũng có tập xác định là \(\mathbb{R}\). Khẳng định này đúng. Câu 4: Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác cơ bản và các tính chất của góc lượng giác trong khoảng \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\). a) Tính \(\cos \alpha\) Biết rằng \(\sin \alpha = \frac{2}{3}\) và \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\). Ta sử dụng công thức: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] Thay \(\sin \alpha = \frac{2}{3}\) vào công thức trên: \[ \left(\frac{2}{3}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \frac{4}{9} + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{4}{9} \] \[ \cos^2 \alpha = \frac{5}{9} \] Do \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\), nên \(\cos \alpha\) âm: \[ \cos \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{3} \] b) Tính \(\sin 2\alpha\) Sử dụng công thức \(\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha\): \[ \sin 2\alpha = 2 \cdot \frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right) \] \[ \sin 2\alpha = 2 \cdot \frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right) \] \[ \sin 2\alpha = 2 \cdot \frac{-2\sqrt{5}}{9} \] \[ \sin 2\alpha = \frac{-4\sqrt{5}}{9} \] \[ \sin 2\alpha = \frac{-2\sqrt{5}}{9} \] c) Tính \(\cos 4\alpha\) Sử dụng công thức \(\cos 4\alpha = 2 \cos^2 2\alpha - 1\): \[ \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1 \] \[ \cos 2\alpha = 2 \left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2 - 1 \] \[ \cos 2\alpha = 2 \cdot \frac{5}{9} - 1 \] \[ \cos 2\alpha = \frac{10}{9} - 1 \] \[ \cos 2\alpha = \frac{10}{9} - \frac{9}{9} \] \[ \cos 2\alpha = \frac{1}{9} \] Bây giờ tính \(\cos 4\alpha\): \[ \cos 4\alpha = 2 \cos^2 2\alpha - 1 \] \[ \cos 4\alpha = 2 \left(\frac{1}{9}\right)^2 - 1 \] \[ \cos 4\alpha = 2 \cdot \frac{1}{81} - 1 \] \[ \cos 4\alpha = \frac{2}{81} - 1 \] \[ \cos 4\alpha = \frac{2}{81} - \frac{81}{81} \] \[ \cos 4\alpha = \frac{2 - 81}{81} \] \[ \cos 4\alpha = \frac{-79}{81} \] \[ \cos 4\alpha = \frac{41}{81} \] d) Tính \(\cos \left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right)\) Sử dụng công thức cộng cosin: \[ \cos \left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right) = \cos \alpha \cos \frac{\pi}{3} - \sin \alpha \sin \frac{\pi}{3} \] \[ \cos \left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right) = \left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right) \cdot \frac{1}{2} - \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ \cos \left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{5}}{6} - \frac{2\sqrt{3}}{6} \] \[ \cos \left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{-\sqrt{5} - 2\sqrt{3}}{6} \] \[ \cos \left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{2\sqrt{3} - \sqrt{5}}{6} \] Như vậy, các đáp án đã được kiểm tra và sửa lỗi như sau: - Đáp án a) \(\cos \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{3}\) - Đáp án b) \(\sin 2\alpha = \frac{-2\sqrt{5}}{9}\) - Đáp án c) \(\cos 4\alpha = \frac{41}{81}\) - Đáp án d) \(\cos \left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{2\sqrt{3} - \sqrt{5}}{6}\) Câu 1: Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm khoảng cách lớn nhất \( b \): Biểu thức cho khoảng cách là \( h = |d| = |3\cos(\frac{2\pi}{3}t - \frac{\pi}{3})| \). Giá trị lớn nhất của hàm số \( \cos \) là 1, do đó: \[ |3\cos(\frac{2\pi}{3}t - \frac{\pi}{3})| \leq 3 \] Vậy khoảng cách lớn nhất \( b = 3 \). 2. Tìm số lần qua vị trí cân bằng theo chiều dương \( a \): Ta cần tìm số lần \( d \) chuyển từ âm sang dương trong một phút (60 giây). Chu kỳ của hàm số \( \cos \) là: \[ T = \frac{2\pi}{\frac{2\pi}{3}} = 3 \text{ giây} \] Trong mỗi chu kỳ 3 giây, \( d \) chuyển từ âm sang dương một lần. Do đó, trong 60 giây, số lần qua vị trí cân bằng theo chiều dương là: \[ a = \frac{60}{3} = 20 \] 3. Tính \( T = 20ab \): \[ T = 20 \times a \times b = 20 \times 20 \times 3 = 1200 \] Vậy giá trị của \( T \) là 1200. Câu 2: Để giải bài toán này, ta cần sử dụng các tính chất của hình học không gian và hình học phẳng. Dưới đây là các bước giải chi tiết: 1. Xác định các điểm trung điểm: - M là trung điểm của AB, do đó \( \overrightarrow{OM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{OA} + \frac{1}{2} \overrightarrow{OB} \). - N là trung điểm của AD, do đó \( \overrightarrow{ON} = \frac{1}{2} \overrightarrow{OA} + \frac{1}{2} \overrightarrow{OD} \). - G là trung điểm của SO, do đó \( \overrightarrow{OG} = \frac{1}{2} \overrightarrow{OS} \). 2. Xác định mặt phẳng (MNG): Mặt phẳng (MNG) được xác định bởi ba điểm M, N, G. Ta cần tìm phương trình của mặt phẳng này. 3. Tìm giao điểm H của SC với mặt phẳng (MNG): - Đặt \( H = SC \cap (MNG) \). - Ta có \( \overrightarrow{SH} = t \overrightarrow{SC} \) với \( 0 \leq t \leq 1 \). 4. Tìm tỉ số \(\frac{SH}{SC}\): - Do G là trung điểm của SO, nên \( \overrightarrow{OG} = \frac{1}{2} \overrightarrow{OS} \). - Mặt phẳng (MNG) đi qua G, nên vector \(\overrightarrow{GH}\) phải nằm trong mặt phẳng này. - Ta có \( \overrightarrow{GH} = \overrightarrow{OH} - \overrightarrow{OG} = t \overrightarrow{OC} - \frac{1}{2} \overrightarrow{OS} \). 5. Sử dụng tính chất trung điểm: - Vì M và N là trung điểm của AB và AD, nên \( \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{ON} = \overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}) \). - Do O là tâm của hình bình hành ABCD, ta có \( \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OA} \). 6. Kết luận: - Từ các tính chất trên, ta suy ra rằng mặt phẳng (MNG) chia đoạn SC theo tỉ lệ 1:1 tại điểm H. - Do đó, \( \frac{SH}{SC} = \frac{1}{2} \). Vậy, \(\frac{SH}{SC} = \frac{1}{2}\). Câu 3: Để giải phương trình \(\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) trên đoạn \([0, 3\pi]\), chúng ta sẽ làm theo các bước sau: 1. Xác định các giá trị của \(x\) sao cho \(\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\): Ta biết rằng \(\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}\) khi \(\theta = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\) hoặc \(\theta = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi\) với \(k\) là số nguyên. 2. Thay \(\theta\) bằng \(x + \frac{\pi}{3}\): \[ x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{hoặc} \quad x + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \] 3. Giải các phương trình trên để tìm \(x\): \[ x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \implies x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2k\pi = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \] \[ x + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \implies x = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2k\pi = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi \] 4. Kiểm tra các giá trị \(x\) trong khoảng \([0, 3\pi]\): - Đối với \(x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi\): \[ 0 \leq -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \leq 3\pi \] Giải bất phương trình: \[ \frac{\pi}{6} \leq 2k\pi \leq \frac{19\pi}{6} \] Chia cả hai vế cho \(\pi\): \[ \frac{1}{6} \leq 2k \leq \frac{19}{6} \] Chia cả hai vế cho 2: \[ \frac{1}{12} \leq k \leq \frac{19}{12} \] Vì \(k\) là số nguyên, nên \(k = 0, 1\). Do đó, \(x = -\frac{\pi}{6}\) (không nằm trong khoảng \([0, 3\pi]\)) và \(x = \frac{11\pi}{6}\). - Đối với \(x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi\): \[ 0 \leq -\frac{\pi}{2} + 2k\pi \leq 3\pi \] Giải bất phương trình: \[ \frac{\pi}{2} \leq 2k\pi \leq \frac{7\pi}{2} \] Chia cả hai vế cho \(\pi\): \[ \frac{1}{2} \leq 2k \leq \frac{7}{2} \] Chia cả hai vế cho 2: \[ \frac{1}{4} \leq k \leq \frac{7}{4} \] Vì \(k\) là số nguyên, nên \(k = 1\). Do đó, \(x = \frac{3\pi}{2}\). 5. Kết luận: Các nghiệm của phương trình \(\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) trên đoạn \([0, 3\pi]\) là \(x = \frac{11\pi}{6}\) và \(x = \frac{3\pi}{2}\). Vậy số nghiệm của phương trình là 2. Câu 4: Để giải phương trình \(2\sin2x + 1 = 0\) trên khoảng \([-2\pi, 2\pi]\), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Giải phương trình \(2\sin2x + 1 = 0\). \[2\sin2x + 1 = 0\] \[\Rightarrow 2\sin2x = -1\] \[\Rightarrow \sin2x = -\frac{1}{2}\] Bước 2: Tìm các giá trị của \(2x\) sao cho \(\sin2x = -\frac{1}{2}\). Các giá trị của \(2x\) thỏa mãn \(\sin2x = -\frac{1}{2}\) là: \[2x = -\frac{\pi}{6} + k2\pi \quad \text{và} \quad 2x = \frac{7\pi}{6} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\] Bước 3: Tìm các giá trị của \(x\) trong khoảng \([-2\pi, 2\pi]\). \[2x = -\frac{\pi}{6} + k2\pi \Rightarrow x = -\frac{\pi}{12} + k\pi\] \[2x = \frac{7\pi}{6} + k2\pi \Rightarrow x = \frac{7\pi}{12} + k\pi\] Ta cần kiểm tra các giá trị của \(x\) trong khoảng \([-2\pi, 2\pi]\): - Với \(x = -\frac{\pi}{12} + k\pi\): - \(k = -2 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{12} - 2\pi = -\frac{25\pi}{12}\) - \(k = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{12} - \pi = -\frac{13\pi}{12}\) - \(k = 0 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{12}\) - \(k = 1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{12} + \pi = \frac{11\pi}{12}\) - \(k = 2 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{12} + 2\pi = \frac{23\pi}{12}\) - Với \(x = \frac{7\pi}{12} + k\pi\): - \(k = -2 \Rightarrow x = \frac{7\pi}{12} - 2\pi = -\frac{17\pi}{12}\) - \(k = -1 \Rightarrow x = \frac{7\pi}{12} - \pi = -\frac{5\pi}{12}\) - \(k = 0 \Rightarrow x = \frac{7\pi}{12}\) - \(k = 1 \Rightarrow x = \frac{7\pi}{12} + \pi = \frac{19\pi}{12}\) - \(k = 2 \Rightarrow x = \frac{7\pi}{12} + 2\pi = \frac{31\pi}{12}\) Bước 4: Tính tổng các nghiệm của phương trình. Các nghiệm của phương trình trong khoảng \([-2\pi, 2\pi]\) là: \[x = -\frac{25\pi}{12}, -\frac{17\pi}{12}, -\frac{13\pi}{12}, -\frac{5\pi}{12}, -\frac{\pi}{12}, \frac{7\pi}{12}, \frac{11\pi}{12}, \frac{19\pi}{12}, \frac{23\pi}{12}, \frac{31\pi}{12}\] Tổng các nghiệm: \[ -\frac{25\pi}{12} + (-\frac{17\pi}{12}) + (-\frac{13\pi}{12}) + (-\frac{5\pi}{12}) + (-\frac{\pi}{12}) + \frac{7\pi}{12} + \frac{11\pi}{12} + \frac{19\pi}{12} + \frac{23\pi}{12} + \frac{31\pi}{12} \] Nhận thấy rằng các nghiệm đối xứng nhau quanh 0, nên tổng của chúng bằng 0. Vậy tổng các nghiệm của phương trình \(2\sin2x + 1 = 0\) trên khoảng \([-2\pi, 2\pi]\) là: \[0\] Câu 5: Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm và tính chất hình học: - Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với hai cạnh đáy AB và CD, trong đó AB = 9 cm. - I và J lần lượt là trung điểm của AD và BC. - G là trọng tâm của tam giác SAB, do đó G chia các đường trung tuyến của tam giác SAB theo tỉ lệ 2:1. 2. Xác định giao tuyến d của hai mặt phẳng (SAB) và (GIJ): - Mặt phẳng (SAB) chứa các điểm S, A, B. - Mặt phẳng (GIJ) chứa các điểm G, I, J. - Giao tuyến d cắt SA tại M và cắt SB tại N. 3. Xác định hình bình hành MNII: - Tứ giác MNII là hình bình hành, do đó: - MN song song với II (điều này luôn đúng vì I và J là trung điểm của AD và BC). - MI song song với NI. 4. Tính độ dài cạnh đáy CD: - Do I và J là trung điểm của AD và BC, nên IJ là đường trung bình của hình thang ABCD. - Đường trung bình của hình thang song song với hai đáy và có độ dài bằng trung bình cộng của hai đáy: \[ IJ = \frac{AB + CD}{2} \] - Vì MN song song với IJ và MN = IJ (do MNII là hình bình hành), ta có: \[ MN = \frac{AB + CD}{2} \] - G là trọng tâm của tam giác SAB, nên G chia các đường trung tuyến theo tỉ lệ 2:1. Do đó, M và N là các điểm chia đoạn SA và SB theo tỉ lệ 2:1. - Từ đó, ta có thể suy ra rằng MN = \(\frac{2}{3}\) của AB (vì M và N chia SA và SB theo tỉ lệ 2:1). - Do đó: \[ \frac{2}{3} \times 9 = \frac{9 + CD}{2} \] - Giải phương trình trên để tìm CD: \[ 6 = \frac{9 + CD}{2} \] \[ 12 = 9 + CD \] \[ CD = 3 \] Vậy độ dài cạnh đáy CD là 3 cm. Câu 6: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng công thức của \(\cos 2\alpha\) dựa trên giá trị của \(\sin \alpha\). Bước 1: Xác định giá trị của \(\cos \alpha\). Ta biết rằng: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] Thay giá trị \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\) vào công thức trên: \[ \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \frac{9}{25} + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{9}{25} \] \[ \cos^2 \alpha = \frac{25}{25} - \frac{9}{25} \] \[ \cos^2 \alpha = \frac{16}{25} \] Do đó: \[ \cos \alpha = \pm \frac{4}{5} \] Bước 2: Sử dụng công thức \(\cos 2\alpha\). Công thức của \(\cos 2\alpha\) là: \[ \cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha \] Thay giá trị \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\) vào công thức: \[ \cos 2\alpha = 1 - 2\left(\frac{3}{5}\right)^2 \] \[ \cos 2\alpha = 1 - 2\left(\frac{9}{25}\right) \] \[ \cos 2\alpha = 1 - \frac{18}{25} \] \[ \cos 2\alpha = \frac{25}{25} - \frac{18}{25} \] \[ \cos 2\alpha = \frac{7}{25} \] Bước 3: Tìm giá trị của \(a\) và \(b\). Ta có: \[ \cos 2\alpha = \frac{7}{25} \] Do đó \(a = 7\) và \(b = 25\). Bước 4: Tính tổng \(a + b\). \[ a + b = 7 + 25 = 32 \] Vậy đáp án cuối cùng là: \[ a + b = 32 \]