Bài $\rm 8.$

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một. ### a) Viết các phương trình phản ứng hạt nhân xảy ra Phản ứng phân rã của đồng vị nhân tạo \(^{60}_{27}Co\) thành đồng vị bền \(^{60}_{28}Ni\) có thể được biểu diễn như sau: \[ ^{60}_{27}Co \rightarrow ^{60}_{28}Ni + \beta^- \] Trong đó, \(\beta^-\) biểu thị cho một electron (hạt beta) được phát ra trong quá trình phân rã. ### b) Tính khối lượng \(^{60}_{27}Co\) để có độ phóng xạ là 10C 1. **Tính số mol cần thiết cho độ phóng xạ 10C**: - Độ phóng xạ \(10 \text{ Ci} = 10 \times 3,7 \times 10^{10} \text{ Bq} = 3,7 \times 10^{11} \text{ Bq}\). 2. **Sử dụng công thức phân rã**: - Công thức tính số phân tử phóng xạ là: \[ N = \frac{N_0}{2^{t/T_{1/2}}} \] Trong đó: - \(N_0\) là số hạt ban đầu, - \(t\) là thời gian, - \(T_{1/2}\) là chu kỳ bán rã (5.33 năm). Ta có công thức tính hoạt độ (phóng xạ) của đồng vị: \[ A = \lambda N \] với \(\lambda = \frac{\ln(2)}{T_{1/2}}\). - Tính \(\lambda\): \[ \lambda = \frac{\ln(2)}{5.33 \times 365 \times 24 \times 3600} = \frac{0.693}{168249600} \approx 4.12 \times 10^{-9} \text{ s}^{-1} \] - Từ đó, suy ra số hạt \(N\): \[ N = \frac{A}{\lambda} = \frac{3.7 \times 10^{11}}{4.12 \times 10^{-9}} \approx 8.98 \times 10^{19} \] 3. **Tính khối lượng \(^{60}_{27}Co\)**: - Số mol \(n\): \[ n = \frac{N}{N_A} = \frac{8.98 \times 10^{19}}{6.022 \times 10^{23}} \approx 1.49 \times 10^{-4} \text{ mol} \] - Khối lượng: \[ m = n \times M = 1.49 \times 10^{-4} \times 60 \approx 8.94 \text{ g} \] ### c) Tính thời gian \(t\) khi tỉ lệ khối lượng \(^{60}_{28}Ni\) so với \(^{60}_{27}Co\) là 0.9 - Gọi khối lượng của \(^{60}_{27}Co\) sau thời gian \(t\) là \(m_{Co}\), và khối lượng của \(^{60}_{28}Ni\) là \(m_{Ni}\). - Theo đề bài, ta có: \[ \frac{m_{Ni}}{m_{Co}} = 0.9 \Rightarrow m_{Ni} = 0.9 \times m_{Co} \] - Khối lượng tổng cộng ban đầu là: \[ m_0 = m_{Co} + m_{Ni} = m_{Co} + 0.9 \times m_{Co} = 1.9 \times m_{Co} \] - Sau thời gian \(t\): \[ m_{Co} = m_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}} \] - Từ đó, ta có: \[ m_{Ni} = m_0 - m_{Co} = m_0 - m_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}} = m_0 \left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}\right) \] - Suy ra: \[ 0.9 m_{Co} = m_0 \left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}\right) \] - Thay \(m_{Co} = \frac{m_0}{1.9}\): \[ 0.9 \cdot \frac{m_0}{1.9} = m_0 \left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}\right) \] - Rút gọn: \[ 0.9 = 1.9 \left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}\right) \] - Giải phương trình để tìm \(t\): \[ \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}} = 1 - \frac{0.9}{1.9} = \frac{1}{1.9} \] - Lấy log hai bên: \[ \frac{t}{T_{1/2}} \ln(0.5) = \ln\left(\frac{1}{1.9}\right) \] - Tính \(t\): \[ t = T_{1/2} \frac{\ln(1/1.9)}{\ln(0.5)} \approx 5.33 \text{ năm} \cdot \frac{-0.5306}{-0.6931} \approx 4.06 \text{ năm} \] ### Kết luận - Khối lượng \(^{60}_{27}Co\) cần thiết là khoảng **8.94 g**. - Thời gian \(t\) khi tỉ lệ khối lượng \(^{60}_{28}Ni\) so với \(^{60}_{27}Co\) là 0.9 khoảng **4.06 năm**.