Trả lời trắc nghiệm

Câu 1: Để đổi số đo góc từ radian sang độ, ta sử dụng công thức chuyển đổi: \[ 1 \text{ radian} = \frac{180}{\pi} \text{ độ} \] Do đó, để đổi góc có số đo \(\frac{2\pi}{5}\) radian sang độ, ta thực hiện các bước sau: 1. Nhân số đo góc radian với \(\frac{180}{\pi}\): \[ \frac{2\pi}{5} \times \frac{180}{\pi} = \frac{2 \times 180}{5} \] 2. Tính toán giá trị: \[ \frac{2 \times 180}{5} = \frac{360}{5} = 72 \] Vậy, góc có số đo \(\frac{2\pi}{5}\) radian đổi sang độ là \(72^\circ\). Do đó, đáp án đúng là \(B.~72^0\). Câu 2: Để giải quyết bài toán này, ta cần hiểu rõ đặc điểm của các góc thuộc góc phần tư thứ hai trên đường tròn lượng giác. 1. Góc phần tư thứ hai: Trên đường tròn lượng giác, góc phần tư thứ hai là khoảng từ \(90^\circ\) đến \(180^\circ\) (hoặc từ \(\frac{\pi}{2}\) đến \(\pi\) radian). 2. Dấu của các hàm lượng giác trong góc phần tư thứ hai: - Sin: Trong góc phần tư thứ hai, giá trị của \(\sin\alpha\) là dương. Điều này là do trục tung (trục y) của đường tròn lượng giác là dương trong góc phần tư thứ hai. - Cos: Trong góc phần tư thứ hai, giá trị của \(\cos\alpha\) là âm. Điều này là do trục hoành (trục x) của đường tròn lượng giác là âm trong góc phần tư thứ hai. 3. Kết luận: Dựa vào các phân tích trên, ta có: - \(\sin\alpha > 0\) - \(\cos\alpha < 0\) Do đó, đáp án đúng là \(C.~\sin\alpha>0;\cos\alpha<0.\) Câu 3: Để giải quyết bài toán này, ta cần xác định các cung tròn mà hai điểm \( M \) và \( N \) biểu diễn trên đường tròn lượng giác. 1. Xác định điểm \( M \): - Điểm \( M \) nằm ở góc phần tư thứ nhất, với số đo cung là \( \frac{\pi}{3} \). - Trên đường tròn lượng giác, các điểm có số đo là \( x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \) với \( k \in \mathbb{Z} \) sẽ biểu diễn cùng một vị trí với \( M \). 2. Xác định điểm \( N \): - Điểm \( N \) nằm ở góc phần tư thứ ba, đối xứng với \( M \) qua gốc tọa độ. - Số đo cung của \( N \) là \( \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} \). - Trên đường tròn lượng giác, các điểm có số đo là \( x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \) với \( k \in \mathbb{Z} \) sẽ biểu diễn cùng một vị trí với \( N \). 3. Lựa chọn đáp án: - Đáp án \( A: x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \) là đúng cho điểm \( M \). - Đáp án \( B: x = -\frac{\pi}{3} + k\pi \) không phù hợp vì không biểu diễn đúng vị trí của \( M \) hoặc \( N \). - Đáp án \( C: x = \frac{\pi}{3} + k\pi \) không phù hợp vì không biểu diễn đúng vị trí của \( M \) hoặc \( N \). - Đáp án \( D: x = \frac{\pi}{3} + k\frac{\pi}{2} \) không phù hợp vì không biểu diễn đúng vị trí của \( M \) hoặc \( N \). Vậy, đáp án đúng là \( A: x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \). Câu 4: Để chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau, chúng ta sẽ kiểm tra từng công thức lượng giác một cách chi tiết. A. $\cos(a+b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$ Công thức này là đúng. Đây là công thức cộng cosin. B. $\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$ Công thức này cũng đúng. Đây là công thức cộng sin. C. $\sin(a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b$ Công thức này đúng. Đây là công thức trừ sin. D. $\cos 2a = 1 - 2 \sin^2 a$ Công thức này cũng đúng. Đây là một trong các công thức hạ bậc của cosin. Tuy nhiên, để chắc chắn rằng mình đã chọn đúng khẳng định sai, chúng ta hãy kiểm tra lại công thức A một lần nữa: $\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$ Như vậy, công thức A bị viết sai dấu âm thay vì dấu cộng. Do đó, khẳng định sai là: Đáp án: A. $\cos(a+b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$ (sai vì phải là $\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$) Vậy khẳng định sai là: A. $\cos(a+b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$. Câu 5: Ta có: \[ P = \sin\left(a + \frac{\pi}{4}\right) \sin\left(a - \frac{\pi}{4}\right) \] Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng: \[ \sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A - B) - \cos(A + B)] \] Áp dụng công thức này vào biểu thức trên: \[ P = \frac{1}{2} \left[ \cos\left( \left(a + \frac{\pi}{4}\right) - \left(a - \frac{\pi}{4}\right) \right) - \cos\left( \left(a + \frac{\pi}{4}\right) + \left(a - \frac{\pi}{4}\right) \right) \right] \] Tính các góc trong cosin: \[ \left(a + \frac{\pi}{4}\right) - \left(a - \frac{\pi}{4}\right) = a + \frac{\pi}{4} - a + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \] \[ \left(a + \frac{\pi}{4}\right) + \left(a - \frac{\pi}{4}\right) = a + \frac{\pi}{4} + a - \frac{\pi}{4} = 2a \] Thay vào biểu thức: \[ P = \frac{1}{2} \left[ \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) - \cos(2a) \right] \] Biết rằng \(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0\): \[ P = \frac{1}{2} \left[ 0 - \cos(2a) \right] \] \[ P = \frac{1}{2} (-\cos(2a)) \] \[ P = -\frac{1}{2} \cos(2a) \] Vậy đáp án đúng là: \[ D.~-\frac{1}{2} \cos 2a \] Câu 6: Hàm số \( y = \frac{1}{\sin x} \) xác định khi và chỉ khi mẫu số khác 0, tức là \( \sin x \neq 0 \). Ta biết rằng \( \sin x = 0 \) khi \( x = k\pi \) với \( k \in \mathbb{Z} \). Do đó, tập xác định của hàm số \( y = \frac{1}{\sin x} \) là tất cả các số thực trừ những giá trị mà \( \sin x = 0 \). Vậy tập xác định của hàm số là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \{ k\pi, k \in \mathbb{Z} \}. \] Đáp án đúng là: \[ C.~D = \mathbb{R} \setminus \{ k\pi, k \in \mathbb{Z} \}. \] Câu 7: Để xác định hàm số chẵn, ta cần kiểm tra tính chất \( f(-x) = f(x) \). - Hàm số \( y = \sin x \): \[ \sin(-x) = -\sin x \neq \sin x \] Do đó, \( y = \sin x \) không phải là hàm số chẵn. - Hàm số \( y = \cos x \): \[ \cos(-x) = \cos x \] Do đó, \( y = \cos x \) là hàm số chẵn. - Hàm số \( y = \tan x \): \[ \tan(-x) = -\tan x \neq \tan x \] Do đó, \( y = \tan x \) không phải là hàm số chẵn. - Hàm số \( y = \cot x \): \[ \cot(-x) = -\cot x \neq \cot x \] Do đó, \( y = \cot x \) không phải là hàm số chẵn. Vậy, trong các hàm số đã cho, hàm số chẵn là: \[ B.~y=\cos x. \] Câu 8: Ta biết rằng \(-1 \leq \sin x \leq 1\). Do đó: \[ -1 \leq \sin x \leq 1 \] \[ \Leftrightarrow -1 \times (-1) \geq -\sin x \geq 1 \times (-1) \] \[ \Leftrightarrow 1 \geq -\sin x \geq -1 \] \[ \Leftrightarrow 1 + 2 \geq 2 - \sin x \geq -1 + 2 \] \[ \Leftrightarrow 3 \geq 2 - \sin x \geq 1 \] Vậy tập giá trị của hàm số \( y = 2 - \sin x \) là \([1; 3]\). Đáp án đúng là: \( D. [1; 3] \). Câu 9: Để giải phương trình \(2\sin x - 1 = 0\), ta thực hiện các bước sau: 1. Chuyển vế để tách \(\sin x\): \[ 2\sin x - 1 = 0 \implies 2\sin x = 1 \implies \sin x = \frac{1}{2} \] 2. Xác định các giá trị của \(x\) sao cho \(\sin x = \frac{1}{2}\). Biết rằng: \[ \sin x = \frac{1}{2} \implies x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \pi - \frac{\pi}{6} + k2\pi = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] 3. Kết luận tập nghiệm của phương trình: \[ S = \left\{ \frac{\pi}{6} + k2\pi; \frac{5\pi}{6} + k2\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \] Do đó, đáp án đúng là: \[ A.~S=\left\{\frac{\pi}{6}+k2\pi;\frac{5\pi}{6}+k2\pi,k\in \mathbb{Z}\right\} \] Câu 10: Ta thấy rằng mỗi số hạng trong dãy số đều tăng thêm 7 đơn vị so với số hạng trước đó. Ta sẽ kiểm tra từng đáp án để tìm ra số hạng tổng quát của dãy số. - Với đáp án A: \( u_n = 7n + 7 \) - Khi \( n = 1 \): \( u_1 = 7(1) + 7 = 14 \) (không đúng vì số hạng đầu tiên là 8) - Với đáp án B: \( u_n = 7n \) - Khi \( n = 1 \): \( u_1 = 7(1) = 7 \) (không đúng vì số hạng đầu tiên là 8) - Với đáp án C: \( u_n = 7n + 1 \) - Khi \( n = 1 \): \( u_1 = 7(1) + 1 = 8 \) (đúng) - Khi \( n = 2 \): \( u_2 = 7(2) + 1 = 15 \) (đúng) - Khi \( n = 3 \): \( u_3 = 7(3) + 1 = 22 \) (đúng) - Khi \( n = 4 \): \( u_4 = 7(4) + 1 = 29 \) (đúng) - Khi \( n = 5 \): \( u_5 = 7(5) + 1 = 36 \) (đúng) - Với đáp án D: \( u_n = 7n + 3 \) - Khi \( n = 1 \): \( u_1 = 7(1) + 3 = 10 \) (không đúng vì số hạng đầu tiên là 8) Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là \( u_n = 7n + 1 \). Đáp án đúng là: \( C.~u_n = 7n + 1 \). Câu 11: Để tìm số hạng \( u_2 \) của dãy số \( (u_n) \) với công thức \( u_n = \frac{2n^2 - 1}{n^2 + 3} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Thay \( n = 2 \) vào công thức \( u_n \): \[ u_2 = \frac{2(2)^2 - 1}{(2)^2 + 3} \] 2. Tính tử số: \[ 2(2)^2 - 1 = 2 \cdot 4 - 1 = 8 - 1 = 7 \] 3. Tính mẫu số: \[ (2)^2 + 3 = 4 + 3 = 7 \] 4. Kết hợp tử số và mẫu số để tìm \( u_2 \): \[ u_2 = \frac{7}{7} = 1 \] Do đó, số hạng \( u_2 \) của dãy số là \( 1 \). Tuy nhiên, trong các đáp án đã cho, không có đáp án nào đúng với kết quả trên. Vì vậy, có thể có lỗi trong đề bài hoặc đáp án. Nếu vẫn muốn chọn từ các đáp án đã cho, thì không có đáp án nào đúng với \( u_2 = 1 \). Câu 12: Để xác định dãy số nào là một cấp số cộng, chúng ta cần kiểm tra xem hiệu giữa các số hạng liên tiếp có bằng nhau hay không. A. Dãy số: 1; -2; -4; -6; -8 - Hiệu giữa các số hạng liên tiếp: - (-2) - 1 = -3 - (-4) - (-2) = -2 - (-6) - (-4) = -2 - (-8) - (-6) = -2 Hiệu không bằng nhau nên dãy này không phải là cấp số cộng. B. Dãy số: 1; -3; -6; -9; -12 - Hiệu giữa các số hạng liên tiếp: - (-3) - 1 = -4 - (-6) - (-3) = -3 - (-9) - (-6) = -3 - (-12) - (-9) = -3 Hiệu không bằng nhau nên dãy này không phải là cấp số cộng. C. Dãy số: 1; -3; -7; -11; -15 - Hiệu giữa các số hạng liên tiếp: - (-3) - 1 = -4 - (-7) - (-3) = -4 - (-11) - (-7) = -4 - (-15) - (-11) = -4 Hiệu bằng nhau nên dãy này là cấp số cộng. D. Dãy số: 1; -3; -5; -7; -9 - Hiệu giữa các số hạng liên tiếp: - (-3) - 1 = -4 - (-5) - (-3) = -2 - (-7) - (-5) = -2 - (-9) - (-7) = -2 Hiệu không bằng nhau nên dãy này không phải là cấp số cộng. Vậy, dãy số C là một cấp số cộng. Đáp án: C. 1; -3; -7; -11; -15. Câu 13: Để tìm công bội \( q \) của cấp số nhân \((u_s)\) với \( u_1 = 1 \) và \( u_2 = 2 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Nhắc lại định nghĩa cấp số nhân: - Một dãy số \((u_n)\) là cấp số nhân nếu mỗi số hạng sau đó bằng số hạng trước nó nhân với một hằng số \( q \) (công bội). - Điều này có nghĩa là \( u_{n+1} = u_n \cdot q \). 2. Áp dụng định nghĩa vào bài toán: - Ta biết rằng \( u_1 = 1 \) và \( u_2 = 2 \). - Theo định nghĩa cấp số nhân, ta có \( u_2 = u_1 \cdot q \). 3. Thay các giá trị đã biết vào phương trình: - Thay \( u_1 = 1 \) và \( u_2 = 2 \) vào phương trình \( u_2 = u_1 \cdot q \): \[ 2 = 1 \cdot q \] 4. Giải phương trình để tìm \( q \): - Từ phương trình trên, ta suy ra: \[ q = 2 \] 5. Kết luận: - Công bội của cấp số nhân đã cho là \( q = 2 \). Do đó, đáp án đúng là: \[ B.~q=2. \]