giải bài toán

Câu 8: Ta biết rằng \(-1 \leq \sin x \leq 1\). Do đó: \[ -1 \leq \sin x \leq 1 \] \[ \Leftrightarrow -1 \times (-1) \geq -\sin x \geq 1 \times (-1) \] \[ \Leftrightarrow 1 \geq -\sin x \geq -1 \] \[ \Leftrightarrow 1 + 2 \geq 2 - \sin x \geq -1 + 2 \] \[ \Leftrightarrow 3 \geq 2 - \sin x \geq 1 \] Vậy tập giá trị của hàm số \( y = 2 - \sin x \) là \([1; 3]\). Đáp án đúng là: \( D. [1; 3] \). Câu 9: Để giải phương trình \(2\sin x - 1 = 0\), ta thực hiện các bước sau: 1. Chuyển vế để đơn giản hóa phương trình: \[ 2\sin x - 1 = 0 \implies 2\sin x = 1 \implies \sin x = \frac{1}{2} \] 2. Xác định các giá trị của \(x\) sao cho \(\sin x = \frac{1}{2}\). Biết rằng \(\sin x = \frac{1}{2}\) tại các góc \(\frac{\pi}{6}\) và \(\frac{5\pi}{6}\) trong khoảng \([0, 2\pi)\). 3. Do tính tuần hoàn của hàm số sin, các nghiệm tổng quát sẽ là: \[ x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \quad \text{và} \quad x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z} \] 4. Vậy tập nghiệm của phương trình là: \[ S = \left\{ \frac{\pi}{6} + k2\pi, \frac{5\pi}{6} + k2\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \] Do đó, đáp án đúng là: \[ A.~S=\left\{\frac{\pi}{6}+k2\pi;\frac{5\pi}{6}+k2\pi,~k\in\mathbb{Z}\right\} \] Câu 10: Ta thấy rằng mỗi số hạng trong dãy số đều tăng thêm 7 đơn vị so với số hạng trước đó. Ta sẽ kiểm tra từng đáp án để tìm ra số hạng tổng quát đúng. - Với đáp án A: \( u_n = 7n + 7 \) - Khi \( n = 1 \): \( u_1 = 7(1) + 7 = 14 \) (không đúng vì số hạng đầu tiên là 8) - Với đáp án B: \( u_n = 7n \) - Khi \( n = 1 \): \( u_1 = 7(1) = 7 \) (không đúng vì số hạng đầu tiên là 8) - Với đáp án C: \( u_n = 7n + 1 \) - Khi \( n = 1 \): \( u_1 = 7(1) + 1 = 8 \) (đúng) - Khi \( n = 2 \): \( u_2 = 7(2) + 1 = 15 \) (đúng) - Khi \( n = 3 \): \( u_3 = 7(3) + 1 = 22 \) (đúng) - Khi \( n = 4 \): \( u_4 = 7(4) + 1 = 29 \) (đúng) - Khi \( n = 5 \): \( u_5 = 7(5) + 1 = 36 \) (đúng) - Với đáp án D: \( u_n = 7n + 3 \) - Khi \( n = 1 \): \( u_1 = 7(1) + 3 = 10 \) (không đúng vì số hạng đầu tiên là 8) Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là \( u_n = 7n + 1 \). Đáp án đúng là: \( C.~u_n=7n+1. \) Câu 11: Để tìm số hạng \( u_5 \) của dãy số \( (u_n) \) với công thức \( u_n = \frac{2n^2 - 1}{n^2 + 3} \), ta thay \( n = 5 \) vào công thức này. Ta có: \[ u_5 = \frac{2(5)^2 - 1}{(5)^2 + 3} \] Tính toán từng phần: \[ 2(5)^2 = 2 \times 25 = 50 \] \[ 50 - 1 = 49 \] \[ (5)^2 + 3 = 25 + 3 = 28 \] Do đó: \[ u_5 = \frac{49}{28} \] Rút gọn phân số: \[ \frac{49}{28} = \frac{7 \times 7}{4 \times 7} = \frac{7}{4} \] Vậy số hạng \( u_5 \) là: \[ u_5 = \frac{7}{4} \] Đáp án đúng là: \[ C.~u_5 = \frac{7}{4} \] Câu 12: Để xác định dãy số nào là một cấp số cộng, chúng ta cần kiểm tra xem hiệu giữa các số hạng liên tiếp có bằng nhau hay không. A. Dãy số: 1; -2; -4; -6; -8 - Hiệu giữa các số hạng liên tiếp: - (-2) - 1 = -3 - (-4) - (-2) = -2 - (-6) - (-4) = -2 - (-8) - (-6) = -2 Hiệu không bằng nhau nên dãy này không phải là cấp số cộng. B. Dãy số: 1; -3; -6; -9; -12 - Hiệu giữa các số hạng liên tiếp: - (-3) - 1 = -4 - (-6) - (-3) = -3 - (-9) - (-6) = -3 - (-12) - (-9) = -3 Hiệu không bằng nhau nên dãy này không phải là cấp số cộng. C. Dãy số: 1; 33; -7; -11115 - Hiệu giữa các số hạng liên tiếp: - 33 - 1 = 32 - (-7) - 33 = -40 - (-11115) - (-7) = -11108 Hiệu không bằng nhau nên dãy này không phải là cấp số cộng. D. Dãy số: 1; -3; -5 - Hiệu giữa các số hạng liên tiếp: - (-3) - 1 = -4 - (-5) - (-3) = -2 Hiệu không bằng nhau nên dãy này không phải là cấp số cộng. Vậy trong các dãy số đã cho, không có dãy số nào là cấp số cộng. Câu 13: Để tìm công bội \( q \) của cấp số nhân \((u_n)\) với \( u_1 = 1 \) và \( u_2 = 2 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Nhắc lại định nghĩa cấp số nhân: - Một dãy số \((u_n)\) là cấp số nhân nếu mỗi số hạng sau đó bằng số hạng trước nó nhân với một hằng số \( q \) (công bội). - Điều này có nghĩa là \( u_{n+1} = u_n \cdot q \). 2. Áp dụng định nghĩa vào bài toán: - Ta biết rằng \( u_1 = 1 \) và \( u_2 = 2 \). - Theo định nghĩa cấp số nhân, ta có \( u_2 = u_1 \cdot q \). 3. Thay các giá trị đã biết vào phương trình: - Thay \( u_1 = 1 \) và \( u_2 = 2 \) vào phương trình \( u_2 = u_1 \cdot q \): \[ 2 = 1 \cdot q \] 4. Giải phương trình để tìm \( q \): - Từ phương trình trên, ta suy ra: \[ q = 2 \] 5. Kết luận: - Công bội \( q \) của cấp số nhân đã cho là \( 2 \). Do đó, đáp án đúng là: \[ B.~q=2 \]