giải các bài toán

Câu 14: Để tìm tổng số giá trị của mẫu số liệu, chúng ta cần cộng tất cả các số thí sinh trong mỗi khoảng điểm. - Số thí sinh có tổng điểm < 6: 23 - Số thí sinh có tổng điểm từ 6 đến 7: 69 - Số thí sinh có tổng điểm từ 7 đến 8: 192 - ... - Số thí sinh có tổng điểm từ 28 đến 29: 216 - Số thí sinh có tổng điểm từ 29 đến 30: 12 Tổng số giá trị của mẫu số liệu là: \[ 23 + 69 + 192 + \ldots + 216 + 12 \] Theo đề bài, tổng số giá trị của mẫu số liệu là 1379008. Vậy đáp án đúng là: D. 1379008 Câu 15: Ta có bảng số liệu đã cho: - Tuổi thọ: "[2; 3, 5)", "[3, 5; 5)", "[5;6,5)", "[6,5;8)" - Số bóng đèn: 8, 22, 35, 15 Để tính số trung bình của mẫu số liệu, ta cần tính giá trị trung bình của mỗi khoảng và nhân với số lượng bóng đèn tương ứng trong mỗi khoảng, sau đó chia tổng này cho tổng số bóng đèn. 1. Tính giá trị trung bình của mỗi khoảng: - Khoảng "[2; 3, 5)": Giá trị trung bình là $\frac{2 + 3,5}{2} = 2,75$ - Khoảng "[3, 5; 5)": Giá trị trung bình là $\frac{3,5 + 5}{2} = 4,25$ - Khoảng "[5;6,5)": Giá trị trung bình là $\frac{5 + 6,5}{2} = 5,75$ - Khoảng "[6,5;8)": Giá trị trung bình là $\frac{6,5 + 8}{2} = 7,25$ 2. Nhân giá trị trung bình của mỗi khoảng với số lượng bóng đèn tương ứng: - Khoảng "[2; 3, 5)": $2,75 \times 8 = 22$ - Khoảng "[3, 5; 5)": $4,25 \times 22 = 93,5$ - Khoảng "[5;6,5)": $5,75 \times 35 = 201,25$ - Khoảng "[6,5;8)": $7,25 \times 15 = 108,75$ 3. Tính tổng của các tích trên: - Tổng: $22 + 93,5 + 201,25 + 108,75 = 425,5$ 4. Tính tổng số bóng đèn: - Tổng số bóng đèn: $8 + 22 + 35 + 15 = 80$ 5. Tính số trung bình của mẫu số liệu: - Số trung bình: $\frac{425,5}{80} = 5,31875$ Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai, ta có số trung bình là 5,32. Vậy đáp án đúng là B. 5,32. Câu 16: Mốt của mẫu số liệu là giá trị xuất hiện nhiều lần nhất trong mẫu số liệu. Trong trường hợp này, chúng ta đang làm việc với các khoảng giá trị (tuổi thọ của bóng đèn) và số lượng bóng đèn tương ứng với mỗi khoảng. - Khoảng $[2;3,5)$ có 8 bóng đèn. - Khoảng $[3,5;5)$ có 22 bóng đèn. - Khoảng $[5;6,5)$ có 35 bóng đèn. - Khoảng $[6,5;8)$ có 15 bóng đèn. Nhìn vào số lượng bóng đèn trong mỗi khoảng, ta thấy rằng khoảng $[5;6,5)$ có số lượng bóng đèn nhiều nhất (35 bóng đèn). Do đó, nhóm chứa mốt của mẫu số liệu là $C.~[5;6,5).$ Đáp án: $C.~[5;6,5).$ Câu 17: Ta có \(\pi < x < \frac{3\pi}{2}\). Vậy góc \(x\) nằm ở góc phần tư thứ III, tức là \(\sin x < 0\). Áp dụng công thức \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\), ta có: \[ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - \left(-\frac{12}{13}\right)^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169} \] Do \(\sin x < 0\), suy ra \(\sin x = -\frac{5}{13}\). Từ đây, ta tính tiếp: \[ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{-\frac{5}{13}}{-\frac{12}{13}} = \frac{5}{12} \] và \[ \cot x = \frac{1}{\tan x} = \frac{12}{5}. \] Cuối cùng, ta có: \[ \sin\left(\frac{\pi}{3} - x\right) = \sin\frac{\pi}{3} \cos x - \cos\frac{\pi}{3} \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) - \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) = \frac{-12\sqrt{3} + 5}{26} = \frac{5 - 12\sqrt{3}}{26}. \] Vậy các đáp án lần lượt là: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng. Câu 18: a) Đúng vì \( u_2 = u_1 + d = -5 + 7 = 2 \) b) Sai vì \( u_5 = u_1 + 4d = -5 + 4 \times 7 = 23 \); \( u_7 = u_1 + 6d = -5 + 6 \times 7 = 37 \). Vậy \( u_5 + u_7 = 23 + 37 = 60 \neq -50 \). c) Đúng vì \( u_{290} = u_1 + 289d = -5 + 289 \times 7 = 2018 \). d) Đúng vì \( S_{20} = \frac{20}{2}(2u_1 + 19d) = 10(2(-5) + 19 \times 7) = 10(-10 + 133) = 10 \times 123 = -1321 \).