cần lời giải

Bài 1: a) $(x-5)(x+1)=0$ Phương trình này sẽ bằng 0 nếu một trong hai nhân tử bằng 0: $(x-5)=0$ hoặc $(x+1)=0$ $x=5$ hoặc $x=-1$ b) $x(x+2)-4(x+2)=0$ Nhóm các hạng tử chung: $(x+2)(x-4)=0$ Phương trình này sẽ bằng 0 nếu một trong hai nhân tử bằng 0: $(x+2)=0$ hoặc $(x-4)=0$ $x=-2$ hoặc $x=4$ c) $2x(x-3)+5x-15=0$ Nhóm các hạng tử chung: $2x(x-3)+5(x-3)=0$ $(x-3)(2x+5)=0$ Phương trình này sẽ bằng 0 nếu một trong hai nhân tử bằng 0: $(x-3)=0$ hoặc $(2x+5)=0$ $x=3$ hoặc $x=-\frac{5}{2}$ Bài 2: a) \(2x - 9 > 5\) Cộng 9 vào cả hai vế: \[2x - 9 + 9 > 5 + 9\] \[2x > 14\] Chia cả hai vế cho 2: \[x > 7\] Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x > 7\). b) \(-3x + 7 \geq -23\) Trừ 7 từ cả hai vế: \[-3x + 7 - 7 \geq -23 - 7\] \[-3x \geq -30\] Chia cả hai vế cho -3 (chú ý đổi chiều bất phương trình): \[x \leq 10\] Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x \leq 10\). c) \(6(3x - 2) + 8 < 1\) Nhân phân phối: \[18x - 12 + 8 < 1\] \[18x - 4 < 1\] Cộng 4 vào cả hai vế: \[18x - 4 + 4 < 1 + 4\] \[18x < 5\] Chia cả hai vế cho 18: \[x < \frac{5}{18}\] Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x < \frac{5}{18}\). Bài 3: a) Thay $x=-1,y=5$ vào phương trình $x+5y=24$ ta được: $-1+5\times 5=-1+25=24.$ Vậy cặp số $(-1;5)$ là nghiệm của phương trình $x+5y=24.$ b) Thay $x=3,y=-2$ vào phương trình $3x-2y=-7$ ta được: $3\times 3-2\times (-2)=9+4=13\ne -7.$ Vậy cặp số $(3;-2)$ không là nghiệm của phương trình $3x-2y=-7.$ Bài 4: a) Ta có $m\leq n$. Cộng thêm 3 vào cả hai vế ta được $m+3\leq n+3$. b) Ta có $m\leq n$. Nhân cả hai vế với 5 ta được $5m\leq 5n$. Trừ đi 9 ở cả hai vế ta được $5m-9\leq 5n-9$. c) Ta có $m\leq n$. Nhân cả hai vế với -2 ta được $-2m\geq -2n$. Cộng thêm 4 vào cả hai vế ta được $-2m+4\geq -2n+4$. d) Ta có $m\leq n$. Trừ đi 7 ở cả hai vế ta được $m-7\leq n-7$. Vì $n-7 < n-5$ nên $m-7\leq n-5$. e) Ta có $m\leq n$. Nhân cả hai vế với 2 ta được $2m\leq 2n$. Cộng thêm 8 vào cả hai vế ta được $2m+8\leq 2n+8$. f) Ta có $m\leq n$. Nhân cả hai vế với -1 ta được $-m\geq -n$. Trừ đi 5 ở cả hai vế ta được $-m-5\geq -n-5$. Bài 5: a) $\left\{\begin{matrix} x-3y=1 & \\ x+y=-1 & \end{matrix}\right.$ Trừ hai phương trình ta có: $(x + y) - (x - 3y) = -1 - 1$ $x + y - x + 3y = -2$ $4y = -2$ $y = -\frac{1}{2}$ Thay $y = -\frac{1}{2}$ vào phương trình $x + y = -1$, ta có: $x - \frac{1}{2} = -1$ $x = -\frac{1}{2}$ Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x, y) = (-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$. b) $\left\{\begin{matrix} 2x+8y=0 & \\ x-8y=-9 & \end{matrix}\right.$ Cộng hai phương trình ta có: $(2x + 8y) + (x - 8y) = 0 - 9$ $3x = -9$ $x = -3$ Thay $x = -3$ vào phương trình $x - 8y = -9$, ta có: $-3 - 8y = -9$ $-8y = -6$ $y = \frac{3}{4}$ Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x, y) = (-3, \frac{3}{4})$. c) $\left\{\begin{matrix} 2x+y=8 & \\ 3x-y=12 & \end{matrix}\right.$ Cộng hai phương trình ta có: $(2x + y) + (3x - y) = 8 + 12$ $5x = 20$ $x = 4$ Thay $x = 4$ vào phương trình $2x + y = 8$, ta có: $2(4) + y = 8$ $8 + y = 8$ $y = 0$ Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x, y) = (4, 0)$. d) $\left\{\begin{matrix} 2x+y=1 & \\ 3x-2y=9 & \end{matrix}\right.$ Nhân phương trình đầu tiên với 2, ta có: $\left\{\begin{matrix} 4x+2y=2 & \\ 3x-2y=9 & \end{matrix}\right.$ Cộng hai phương trình ta có: $(4x + 2y) + (3x - 2y) = 2 + 9$ $7x = 11$ $x = \frac{11}{7}$ Thay $x = \frac{11}{7}$ vào phương trình $2x + y = 1$, ta có: $2(\frac{11}{7}) + y = 1$ $\frac{22}{7} + y = 1$ $y = 1 - \frac{22}{7}$ $y = -\frac{15}{7}$ Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x, y) = (\frac{11}{7}, -\frac{15}{7})$. e) $\left\{\begin{matrix} -2x+3y=2 & \\ 4x-6y=4 & \end{matrix}\right.$ Nhân phương trình đầu tiên với 2, ta có: $\left\{\begin{matrix} -4x+6y=4 & \\ 4x-6y=4 & \end{matrix}\right.$ Cộng hai phương trình ta có: $(-4x + 6y) + (4x - 6y) = 4 + 4$ $0 = 8$ Phương trình này vô nghiệm. Vậy hệ phương trình vô nghiệm. f) $\left\{\begin{matrix} x-5y=6 & \\ 3x+4y=7 & \end{matrix}\right.$ Nhân phương trình đầu tiên với 3, ta có: $\left\{\begin{matrix} 3x-15y=18 & \\ 3x+4y=7 & \end{matrix}\right.$ Trừ hai phương trình ta có: $(3x - 15y) - (3x + 4y) = 18 - 7$ $-19y = 11$ $y = -\frac{11}{19}$ Thay $y = -\frac{11}{19}$ vào phương trình $x - 5y = 6$, ta có: $x - 5(-\frac{11}{19}) = 6$ $x + \frac{55}{19} = 6$ $x = 6 - \frac{55}{19}$ $x = \frac{114}{19} - \frac{55}{19}$ $x = \frac{59}{19}$ Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x, y) = (\frac{59}{19}, -\frac{11}{19})$. Bài 6: Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước sau: a) Tính các tỉ số lượng giác của góc B Tam giác ABC vuông tại A, do đó: - \( BC \) là cạnh huyền. - \( AB \) là cạnh kề của góc B. - \( AC \) là cạnh đối của góc B. Trước tiên, ta cần tính độ dài cạnh huyền \( BC \) bằng định lý Pythagore: \[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10~cm \] Bây giờ, ta tính các tỉ số lượng giác của góc B: 1. Sin B: Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền \[ \sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{8}{10} = 0.8 \] 2. Cos B: Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền \[ \cos B = \frac{AB}{BC} = \frac{6}{10} = 0.6 \] 3. Tan B: Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề \[ \tan B = \frac{AC}{AB} = \frac{8}{6} \approx 1.3 \] 4. Cot B: Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối \[ \cot B = \frac{AB}{AC} = \frac{6}{8} = 0.75 \] b) Tính số đo của góc B và góc C Để tính số đo của góc B, ta sử dụng bảng lượng giác hoặc máy tính để tìm góc có sin bằng 0.8: \[ B \approx 53^\circ \] Vì tam giác ABC là tam giác vuông, tổng số đo hai góc nhọn B và C là \(90^\circ\). Do đó, ta có: \[ C = 90^\circ - B \approx 90^\circ - 53^\circ = 37^\circ \] Vậy, số đo của góc B là \(53^\circ\) và góc C là \(37^\circ\). Bài 7: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: a) Tính các tỉ số lượng giác của góc C: Tam giác ABC vuông tại A, do đó: - \( AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12 \, \text{cm} \). Với góc C, ta có: - Sin C = \( \frac{\text{đối}}{\text{huyền}} = \frac{AB}{BC} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} = 0.60 \). - Cos C = \( \frac{\text{kề}}{\text{huyền}} = \frac{AC}{BC} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} = 0.80 \). - Tan C = \( \frac{\text{đối}}{\text{kề}} = \frac{AB}{AC} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} = 0.75 \). - Cot C = \( \frac{\text{kề}}{\text{đối}} = \frac{AC}{AB} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3} = 1.33 \). b) Tính số đo của góc C và góc B: Để tính số đo góc C, ta sử dụng bảng lượng giác hoặc máy tính: - Góc C = \( \arcsin(0.60) \approx 36.87^\circ \). Làm tròn đến phút, ta có: - Góc C ≈ 36 độ 52 phút. Vì tam giác ABC là tam giác vuông, nên: - Góc B = 90° - Góc C ≈ 90° - 36.87° ≈ 53.13°. Làm tròn đến phút, ta có: - Góc B ≈ 53 độ 8 phút. Vậy, các tỉ số lượng giác của góc C là: Sin C = 0.60, Cos C = 0.80, Tan C = 0.75, Cot C = 1.33. Số đo góc C là 36 độ 52 phút và góc B là 53 độ 8 phút. Bài 8: Để tính các tỉ số lượng giác của các góc đã cho, chúng ta sẽ sử dụng bảng lượng giác hoặc máy tính cầm tay để tìm giá trị gần đúng của các tỉ số lượng giác. Sau đó, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm. a) \(\sin 35^\circ\) Sử dụng bảng lượng giác hoặc máy tính, ta có: \[ \sin 35^\circ \approx 0.5736 \] Làm tròn đến hàng phần trăm, ta được: \[ \sin 35^\circ \approx 0.57 \] b) \(\cos 57^\circ 28^\prime\) Trước tiên, chuyển đổi phút thành độ: \[ 57^\circ 28^\prime = 57^\circ + \frac{28}{60}^\circ = 57.4667^\circ \] Sử dụng bảng lượng giác hoặc máy tính, ta có: \[ \cos 57.4667^\circ \approx 0.5390 \] Làm tròn đến hàng phần trăm, ta được: \[ \cos 57^\circ 28^\prime \approx 0.54 \] c) \(\tan 14^\circ 37^\prime\) Chuyển đổi phút thành độ: \[ 14^\circ 37^\prime = 14^\circ + \frac{37}{60}^\circ = 14.6167^\circ \] Sử dụng bảng lượng giác hoặc máy tính, ta có: \[ \tan 14.6167^\circ \approx 0.2607 \] Làm tròn đến hàng phần trăm, ta được: \[ \tan 14^\circ 37^\prime \approx 0.26 \] d) \(\cot 69^\circ\) Ta biết rằng \(\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}\). Do đó: \[ \cot 69^\circ = \frac{1}{\tan 69^\circ} \] Sử dụng bảng lượng giác hoặc máy tính, ta có: \[ \tan 69^\circ \approx 2.6051 \] Do đó: \[ \cot 69^\circ \approx \frac{1}{2.6051} \approx 0.3838 \] Làm tròn đến hàng phần trăm, ta được: \[ \cot 69^\circ \approx 0.38 \] Tóm lại, các tỉ số lượng giác đã được tính và làm tròn như sau: - \(\sin 35^\circ \approx 0.57\) - \(\cos 57^\circ 28^\prime \approx 0.54\) - \(\tan 14^\circ 37^\prime \approx 0.26\) - \(\cot 69^\circ \approx 0.38\) Bài 9: Để giải tam giác vuông ABC tại A, chúng ta sẽ sử dụng các định lý lượng giác trong tam giác vuông như định lý Pythagore và các tỉ số lượng giác (sin, cos, tan). a) BC = 14 cm và \(\widehat{C} = 30^\circ\). Trong tam giác vuông ABC, \(\widehat{C} = 30^\circ\) và BC là cạnh huyền. 1. Sử dụng tỉ số lượng giác: - \(\sin C = \frac{AC}{BC}\). - \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\). Từ đó, ta có: \[ \frac{AC}{14} = \frac{1}{2} \Rightarrow AC = 7 \text{ cm}. \] 2. Sử dụng định lý Pythagore để tìm AB: \[ AB = \sqrt{BC^2 - AC^2} = \sqrt{14^2 - 7^2} = \sqrt{196 - 49} = \sqrt{147} = 7\sqrt{3} \text{ cm}. \] Vậy, \(AC = 7 \text{ cm}\) và \(AB = 7\sqrt{3} \text{ cm}\). b) AB = 27 cm và \(\widehat{B} = 61^\circ\). 1. Sử dụng tỉ số lượng giác: - \(\cos B = \frac{AC}{AB}\). - \(\cos 61^\circ \approx 0.4848\). Từ đó, ta có: \[ \frac{AC}{27} \approx 0.4848 \Rightarrow AC \approx 27 \times 0.4848 \approx 13.1 \text{ cm}. \] 2. Sử dụng định lý Pythagore để tìm BC: \[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{27^2 + 13.1^2} \approx \sqrt{729 + 171.61} \approx \sqrt{900.61} \approx 30 \text{ cm}. \] Vậy, \(AC \approx 13.1 \text{ cm}\) và \(BC \approx 30 \text{ cm}\). c) AB = 11 cm và AC = 16 cm. 1. Sử dụng định lý Pythagore để tìm BC: \[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{11^2 + 16^2} = \sqrt{121 + 256} = \sqrt{377}. \] 2. Tính gần đúng: \[ BC \approx 19.4 \text{ cm}. \] Vậy, \(BC \approx 19.4 \text{ cm}\). Bài 10: Để viết các tỉ số lượng giác của các góc lớn hơn \(45^0\) thành các tỉ số lượng giác của các góc có số đo nhỏ hơn \(45^0\), ta có thể sử dụng các công thức lượng giác cơ bản và các công thức bổ sung. a) \(\sin 75^0\) Sử dụng công thức bổ sung: \(\sin (90^0 - \alpha) = \cos \alpha\). Ta có: \(\sin 75^0 = \cos (90^0 - 75^0) = \cos 15^0\). b) \(\cos 59^016^\prime\) Sử dụng công thức bổ sung: \(\cos (90^0 - \alpha) = \sin \alpha\). Ta có: \(\cos 59^016^\prime = \sin (90^0 - 59^016^\prime) = \sin 30^044^\prime\). c) \(\tan 64^017^\prime\) Sử dụng công thức bổ sung: \(\tan (90^0 - \alpha) = \cot \alpha\). Ta có: \(\tan 64^017^\prime = \cot (90^0 - 64^017^\prime) = \cot 25^043^\prime\). d) \(\cot 49^0\) Sử dụng công thức bổ sung: \(\cot (90^0 - \alpha) = \tan \alpha\). Ta có: \(\cot 49^0 = \tan (90^0 - 49^0) = \tan 41^0\). Như vậy, các tỉ số lượng giác đã được viết lại thành các tỉ số lượng giác của các góc có số đo nhỏ hơn \(45^0\). Bài 11: a) $(x+3)(3x-6)=0$ Phương trình này sẽ bằng 0 nếu một trong hai nhân tử bằng 0: $x+3=0$ hoặc $3x-6=0$ $x=-3$ hoặc $3x=6$ $x=-3$ hoặc $x=2$ b) $2x(x+7)=3(x+7)$ Chuyển tất cả các hạng tử về một vế: $2x(x+7)-3(x+7)=0$ $(2x-3)(x+7)=0$ Phương trình này sẽ bằng 0 nếu một trong hai nhân tử bằng 0: $2x-3=0$ hoặc $x+7=0$ $2x=3$ hoặc $x=-7$ $x=\frac{3}{2}$ hoặc $x=-7$ c) $4x^2-9=0$ Chuyển tất cả các hạng tử về một vế: $4x^2=9$ Chia cả hai vế cho 4: $x^2=\frac{9}{4}$ Lấy căn bậc hai của cả hai vế: $x=\sqrt{\frac{9}{4}}$ hoặc $x=-\sqrt{\frac{9}{4}}$ $x=\frac{3}{2}$ hoặc $x=-\frac{3}{2}$ Bài 12: a) $\frac{-2}{x+4}=\frac3{x-1}$ Điều kiện xác định: $x \neq -4; x \neq 1$. Nhân chéo để giải phương trình: $-2(x - 1) = 3(x + 4)$ $-2x + 2 = 3x + 12$ $-2x - 3x = 12 - 2$ $-5x = 10$ $x = -2$ Kiểm tra điều kiện xác định: $x = -2$ thỏa mãn điều kiện $x \neq -4; x \neq 1$. Vậy nghiệm của phương trình là $x = -2$. b) $\frac x{x-5}-\frac2{x+5}=\frac{x^2+1}{x^2-25}$ Điều kiện xác định: $x \neq 5; x \neq -5$. Quy đồng mẫu số: $\frac{x(x + 5) - 2(x - 5)}{(x - 5)(x + 5)} = \frac{x^2 + 1}{(x - 5)(x + 5)}$ Rút gọn: $\frac{x^2 + 5x - 2x + 10}{(x - 5)(x + 5)} = \frac{x^2 + 1}{(x - 5)(x + 5)}$ So sánh tử số: $x^2 + 3x + 10 = x^2 + 1$ $3x + 10 = 1$ $3x = -9$ $x = -3$ Kiểm tra điều kiện xác định: $x = -3$ thỏa mãn điều kiện $x \neq 5; x \neq -5$. Vậy nghiệm của phương trình là $x = -3$. c) $\frac x{x-7}+1=\frac{2x}{x+2}$ Điều kiện xác định: $x \neq 7; x \neq -2$. Quy đồng mẫu số: $\frac{x + (x - 7)}{x - 7} = \frac{2x}{x + 2}$ Rút gọn: $\frac{2x - 7}{x - 7} = \frac{2x}{x + 2}$ Nhân chéo để giải phương trình: $(2x - 7)(x + 2) = 2x(x - 7)$ $2x^2 + 4x - 7x - 14 = 2x^2 - 14x$ $2x^2 - 3x - 14 = 2x^2 - 14x$ $-3x - 14 = -14x$ $11x = 14$ $x = \frac{14}{11}$ Kiểm tra điều kiện xác định: $x = \frac{14}{11}$ thỏa mãn điều kiện $x \neq 7; x \neq -2$. Vậy nghiệm của phương trình là $x = \frac{14}{11}$. Bài 13: Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng kiến thức về góc nghiêng và tam giác vuông. 1. Mô tả bài toán: - Tòa nhà có chiều cao là 60 m. - Góc nghiêng từ đỉnh tòa nhà xuống ô tô là 55 độ. 2. Mô hình hóa bài toán: - Gọi \( A \) là đỉnh tòa nhà, \( B \) là chân tòa nhà, và \( C \) là vị trí ô tô. - Tam giác \( ABC \) là tam giác vuông tại \( B \), với \( AB = 60 \) m là chiều cao tòa nhà. - Góc \( \angle ACB = 55^\circ \). 3. Tính khoảng cách từ ô tô đến chân tòa nhà: - Ta cần tìm độ dài \( BC \). - Sử dụng định nghĩa của tang trong tam giác vuông: \[ \tan(\angle ACB) = \frac{AB}{BC} \] - Thay số vào công thức: \[ \tan(55^\circ) = \frac{60}{BC} \] - Giải phương trình để tìm \( BC \): \[ BC = \frac{60}{\tan(55^\circ)} \] 4. Tính toán: - Sử dụng máy tính để tính \( \tan(55^\circ) \approx 1.4281 \). - Tính \( BC \): \[ BC \approx \frac{60}{1.4281} \approx 42.0 \] 5. Kết luận: - Ô tô đang đỗ cách tòa nhà khoảng 42 mét (làm tròn đến hàng đơn vị). Bài 14: Để tìm góc \( \theta \) tạo bởi thang và tường, ta có thể sử dụng định lý Pythagore và hàm số lượng giác cosin. 1. Sử dụng định lý Pythagore: Gọi \( h \) là chiều cao từ chân thang đến điểm tiếp xúc với tường. Theo định lý Pythagore trong tam giác vuông, ta có: \[ h^2 + 6.5^2 = 10^2 \] \[ h^2 + 42.25 = 100 \] \[ h^2 = 100 - 42.25 = 57.75 \] \[ h = \sqrt{57.75} \] 2. Tính góc \( \theta \): Sử dụng hàm cosin, ta có: \[ \cos \theta = \frac{6.5}{10} \] \[ \cos \theta = 0.65 \] Sử dụng máy tính để tìm góc \( \theta \): \[ \theta = \cos^{-1}(0.65) \] Tính toán ra kết quả: \[ \theta \approx 49.46^\circ \] Làm tròn đến hàng đơn vị, ta có: \[ \theta \approx 49^\circ \] Vậy, góc tạo bởi thang và tường là khoảng \( 49^\circ \). Bài 15: Để giải bài toán này, ta cần sử dụng kiến thức về tam giác vuông và góc nâng. 1. Xác định tam giác vuông: - Gọi \( A \) là vị trí mắt của người quan sát, \( B \) là tâm của cánh quạt, và \( C \) là điểm trên mặt đất ngay dưới tâm cánh quạt. - Tam giác \( ABC \) là tam giác vuông tại \( C \). 2. Thông tin đã biết: - Khoảng cách từ mắt người đến thân quạt (điểm \( C \)) là \( AC = 16 \) mét. - Góc nâng từ mắt người đến tâm cánh quạt là \( \angle BAC = 56,5^\circ \). - Khoảng cách từ mắt người đến mặt đất là \( 1,5 \) mét. 3. Tính khoảng cách từ tâm cánh quạt đến mặt đất: - Ta cần tính độ dài đoạn \( BC \), là khoảng cách từ tâm cánh quạt đến mặt đất. - Sử dụng định nghĩa của tang trong tam giác vuông: \[ \tan \angle BAC = \frac{BC}{AC} \] - Thay số vào công thức: \[ \tan 56,5^\circ = \frac{BC}{16} \] - Tính \( \tan 56,5^\circ \) bằng máy tính: \[ \tan 56,5^\circ \approx 1,514 \] - Giải phương trình để tìm \( BC \): \[ BC = 16 \times 1,514 \approx 24,224 \] 4. Tính khoảng cách từ tâm cánh quạt đến mặt đất: - Khoảng cách từ tâm cánh quạt đến mặt đất là: \[ BC - 1,5 = 24,224 - 1,5 = 22,724 \] Vậy, khoảng cách từ tâm của cánh quạt đến mặt đất là khoảng \( 22,724 \) mét.