cvjb chuu hog

Câu 1: Để giải phương trình \(\frac{\cos2x}{1-\sin2x}=0\) trên đoạn \([- \pi; 2\pi]\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Mẫu số \(1 - \sin2x \neq 0\) - Do đó, \(\sin2x \neq 1\) 2. Giải phương trình: - Phương trình \(\frac{\cos2x}{1-\sin2x} = 0\) sẽ thỏa mãn khi tử số \(\cos2x = 0\). - Ta có \(\cos2x = 0\) khi \(2x = \frac{\pi}{2} + k\pi\) với \(k\) là số nguyên. - Giải ra \(x\), ta được \(x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}\). 3. Kiểm tra điều kiện xác định: - Ta cần kiểm tra các giá trị \(x\) vừa tìm được có thỏa mãn điều kiện \(\sin2x \neq 1\) hay không. - Thay \(x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}\) vào \(\sin2x\): - Nếu \(k\) chẵn, \(k = 2m\), thì \(x = \frac{\pi}{4} + m\pi\). Khi đó, \(\sin2x = \sin(\frac{\pi}{2} + 2m\pi) = 1\), không thỏa mãn điều kiện. - Nếu \(k\) lẻ, \(k = 2m+1\), thì \(x = \frac{\pi}{4} + \frac{(2m+1)\pi}{2} = \frac{\pi}{4} + m\pi + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4} + m\pi\). Khi đó, \(\sin2x = \sin(3\pi/2 + 2m\pi) = -1\), thỏa mãn điều kiện. 4. Liệt kê các nghiệm trong đoạn \([- \pi; 2\pi]\): - Các nghiệm \(x = \frac{3\pi}{4} + m\pi\) cần nằm trong đoạn \([- \pi; 2\pi]\). - Ta có: - \(m = -2\): \(x = \frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{5\pi}{4}\) - \(m = -1\): \(x = \frac{3\pi}{4} - \pi = -\frac{\pi}{4}\) - \(m = 0\): \(x = \frac{3\pi}{4}\) - \(m = 1\): \(x = \frac{3\pi}{4} + \pi = \frac{7\pi}{4}\) - \(m = 2\): \(x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4}\) (không nằm trong đoạn \([- \pi; 2\pi]\)) Vậy các nghiệm của phương trình trong đoạn \([- \pi; 2\pi]\) là: \[ x = -\frac{5\pi}{4}, -\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4} \] Số nghiệm là 4. Đáp án: A. 4 Câu 2: Để tìm tổng 5 số hạng đầu tiên của cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1 = \frac{1}{4}$ và công sai $d = -\frac{1}{4}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các số hạng đầu tiên của cấp số cộng: - Số hạng thứ nhất: $u_1 = \frac{1}{4}$ - Số hạng thứ hai: $u_2 = u_1 + d = \frac{1}{4} + (-\frac{1}{4}) = 0$ - Số hạng thứ ba: $u_3 = u_2 + d = 0 + (-\frac{1}{4}) = -\frac{1}{4}$ - Số hạng thứ tư: $u_4 = u_3 + d = -\frac{1}{4} + (-\frac{1}{4}) = -\frac{1}{2}$ - Số hạng thứ năm: $u_5 = u_4 + d = -\frac{1}{2} + (-\frac{1}{4}) = -\frac{3}{4}$ 2. Tính tổng 5 số hạng đầu tiên: \[ S_5 = u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + u_5 \] Thay các giá trị đã tìm được: \[ S_5 = \frac{1}{4} + 0 + (-\frac{1}{4}) + (-\frac{1}{2}) + (-\frac{3}{4}) \] 3. Thực hiện phép tính tổng: \[ S_5 = \frac{1}{4} + 0 - \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - \frac{3}{4} \] Gom nhóm các phân số: \[ S_5 = \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{4}\right) + \left(-\frac{1}{2}\right) + \left(-\frac{3}{4}\right) \] \[ S_5 = 0 - \frac{1}{2} - \frac{3}{4} \] Chuyển về cùng mẫu số chung: \[ S_5 = -\frac{2}{4} - \frac{3}{4} = -\frac{5}{4} \] Vậy tổng 5 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là: \[ S_5 = -\frac{5}{4} \] Đáp án đúng là: \[ \boxed{B.~S_5 = -\frac{5}{4}} \] Câu 3: Để giải phương trình \(\cot x = -\sqrt{3}\), chúng ta cần tìm các giá trị của \(x\) sao cho \(\cot x = -\sqrt{3}\). 1. Nhắc lại công thức cotangent: \[ \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} \] Do đó, \(\cot x = -\sqrt{3}\) tương đương với: \[ \frac{\cos x}{\sin x} = -\sqrt{3} \] 2. Tìm các góc cơ bản: Ta biết rằng \(\cot x = -\sqrt{3}\) tại các góc cơ bản trong khoảng \([0, \pi)\). Cụ thể, \(\cot x = -\sqrt{3}\) tại: \[ x = \frac{5\pi}{6} \] vì \(\cot \left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\sqrt{3}\). 3. Mở rộng nghiệm tổng quát: Vì \(\cot x\) là hàm tuần hoàn với chu kỳ \(\pi\), nên nghiệm tổng quát của phương trình \(\cot x = -\sqrt{3}\) sẽ là: \[ x = \frac{5\pi}{6} + k\pi \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z} \] 4. Kiểm tra đáp án: Chúng ta cần kiểm tra xem đáp án nào phù hợp với nghiệm tổng quát trên. - Đáp án A: \(x = \frac{\pi}{4} + k\pi\) \[ \cot \left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 \neq -\sqrt{3} \] Sai. - Đáp án B: \(x = -\frac{\pi}{6} + k\pi\) \[ \cot \left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\sqrt{3} \] Đúng. - Đáp án C: \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\) \[ \cot \left(\frac{\pi}{2}\right) \text{ không xác định} \] Sai. - Đáp án D: \(x = -\frac{\pi}{3} + k\pi\) \[ \cot \left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sqrt{3} \] Đúng. 5. Kết luận: Các đáp án đúng là B và D. Tuy nhiên, theo yêu cầu của đề bài, chúng ta cần chọn một đáp án duy nhất. Vì vậy, chúng ta chọn đáp án B vì nó đã được kiểm tra và xác nhận là đúng. Đáp án: \(\boxed{B.~x = -\frac{\pi}{6} + k\pi, k \in \mathbb{Z}}\) Câu 4: Ta có bảng phân bố tần số ghép lớp: Doanh thu, [5; 7), [7; 9), [9; 11), [11; 13), [13; 15) Số ngày, 2, 7, 7, 3, 1 Số trung bình của mẫu số liệu trên là $\overline{x}=\frac{1}{20}(6\cdot 2+8\cdot 7+10\cdot 7+12\cdot 3+14\cdot 1)=9.$ Vậy số trung bình của mẫu số liệu trên thuộc khoảng [9; 11). Chọn C. Câu 5: Để xác định dãy số nào là một cấp số cộng, chúng ta cần kiểm tra xem hiệu giữa hai số hạng liên tiếp có phải là hằng số hay không. A. \( u_n = 3^n \) - Hiệu giữa hai số hạng liên tiếp: \[ u_{n+1} - u_n = 3^{n+1} - 3^n = 3 \cdot 3^n - 3^n = 2 \cdot 3^n \] Hiệu này không phải là hằng số, vì nó phụ thuộc vào \( n \). Do đó, dãy số này không phải là cấp số cộng. B. \( u_n = 2n + 5 \) - Hiệu giữa hai số hạng liên tiếp: \[ u_{n+1} - u_n = [2(n+1) + 5] - [2n + 5] = 2n + 2 + 5 - 2n - 5 = 2 \] Hiệu này là hằng số (bằng 2). Do đó, dãy số này là cấp số cộng. C. \( u_n = \frac{n+1}{n} \) - Hiệu giữa hai số hạng liên tiếp: \[ u_{n+1} - u_n = \frac{(n+1)+1}{n+1} - \frac{n+1}{n} = \frac{n+2}{n+1} - \frac{n+1}{n} \] Hiệu này không phải là hằng số, vì nó phụ thuộc vào \( n \). Do đó, dãy số này không phải là cấp số cộng. D. \( u_n = n^2 + 1 \) - Hiệu giữa hai số hạng liên tiếp: \[ u_{n+1} - u_n = [(n+1)^2 + 1] - [n^2 + 1] = (n^2 + 2n + 1 + 1) - (n^2 + 1) = 2n + 1 \] Hiệu này không phải là hằng số, vì nó phụ thuộc vào \( n \). Do đó, dãy số này không phải là cấp số cộng. Kết luận: Dãy số B. \( u_n = 2n + 5 \) là một cấp số cộng. Câu 6: Để giải bài toán này, ta cần tính giá trị của biểu thức \( P = \sin(\alpha + \frac{\pi}{6}) \cdot \sin(\alpha - \frac{\pi}{6}) \). Sử dụng công thức nhân đôi cho cos, ta có: \[ \cos 2\alpha = \frac{7}{25} \] Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng, ta có: \[ \sin(\alpha + \frac{\pi}{6}) \cdot \sin(\alpha - \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} \left[ \cos(\alpha - \alpha) - \cos(2\alpha) \right] \] Biểu thức trên trở thành: \[ \sin(\alpha + \frac{\pi}{6}) \cdot \sin(\alpha - \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} \left[ \cos(0) - \cos(2\alpha) \right] \] Vì \(\cos(0) = 1\), nên: \[ \sin(\alpha + \frac{\pi}{6}) \cdot \sin(\alpha - \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} \left[ 1 - \cos(2\alpha) \right] \] Thay giá trị \(\cos(2\alpha) = \frac{7}{25}\) vào, ta có: \[ \sin(\alpha + \frac{\pi}{6}) \cdot \sin(\alpha - \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} \left[ 1 - \frac{7}{25} \right] \] Tính toán tiếp: \[ 1 - \frac{7}{25} = \frac{25}{25} - \frac{7}{25} = \frac{18}{25} \] Do đó: \[ \sin(\alpha + \frac{\pi}{6}) \cdot \sin(\alpha - \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{18}{25} = \frac{18}{50} = \frac{9}{25} \] Tuy nhiên, có một sai sót trong tính toán. Ta cần kiểm tra lại: \[ \sin(\alpha + \frac{\pi}{6}) \cdot \sin(\alpha - \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} \left[ 1 - \frac{7}{25} \right] = \frac{1}{2} \cdot \frac{18}{25} = \frac{9}{25} \] Nhưng đáp án không khớp với các lựa chọn. Ta cần kiểm tra lại công thức: \[ \sin(\alpha + \frac{\pi}{6}) \cdot \sin(\alpha - \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} \left[ 1 - \cos(2\alpha) \right] = \frac{1}{2} \left[ 1 - \frac{7}{25} \right] = \frac{1}{2} \cdot \frac{18}{25} = \frac{9}{25} \] Có thể có nhầm lẫn trong việc tính toán hoặc lựa chọn đáp án. Đáp án chính xác là: \[ P = \frac{9}{25} \] Tuy nhiên, không có đáp án nào khớp với kết quả này. Có thể có lỗi trong đề bài hoặc đáp án. Câu 7: Để tính độ dài cung tròn $l$ của một đường tròn có bán kính $R$ và số đo cung là $\theta$ (tính bằng độ), ta sử dụng công thức: \[ l = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi R \] Trong bài toán này, ta có: - Bán kính $R = 3~cm$. - Số đo cung $\theta = 60^\circ$. Áp dụng công thức trên, ta có: \[ l = \frac{60^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times 3 \] Tính toán từng bước: 1. Tính tỷ lệ số đo cung: \(\frac{60^\circ}{360^\circ} = \frac{1}{6}\). 2. Tính độ dài cung: \[ l = \frac{1}{6} \times 2\pi \times 3 = \frac{1}{6} \times 6\pi = \pi \] Vậy độ dài cung $l$ là $\pi~cm$. Do đó, đáp án đúng là: \( A.~l=\pi~cm. \) Câu 8: Giá trị đại diện của nhóm có cân nặng từ 17 đến 21 kg là số trung bình cộng của hai giới hạn của khoảng đó. Giá trị đại diện = (17 + 21) : 2 = 19 Đáp án đúng là C. 19. Câu 9: Để đổi số đo góc từ độ sang radian, ta sử dụng công thức chuyển đổi: \[ \text{Số đo góc (radian)} = \text{Số đo góc (độ)} \times \frac{\pi}{180^\circ} \] Áp dụng công thức này cho góc có số đo \(80^\circ\): \[ 80^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{80\pi}{180} \] Rút gọn phân số \(\frac{80\pi}{180}\): - Tìm ước chung lớn nhất của 80 và 180, đó là 20. - Chia cả tử và mẫu cho 20: \[ \frac{80\pi}{180} = \frac{80 \div 20 \cdot \pi}{180 \div 20} = \frac{4\pi}{9} \] Vậy số đo góc \(80^\circ\) đổi sang đơn vị radian là \(\frac{4\pi}{9}\). Do đó, đáp án đúng là \(C.~\frac{4\pi}{9}.\) Câu 10: Để giải bài toán này, ta cần xác định các số hạng của cấp số cộng và tìm giá trị của biểu thức $3x + 2y$. Giả sử bốn số theo thứ tự là \(a_1, a_2, a_3, a_4\) và chúng lập thành một cấp số cộng. Theo đề bài, ta có: - \(a_1 = 5\) - \(a_2 = x\) - \(a_3 = 15\) - \(a_4 = y\) Vì đây là một cấp số cộng, nên hiệu giữa hai số hạng liên tiếp là không đổi. Do đó, ta có: 1. \(a_2 - a_1 = a_3 - a_2\) 2. \(a_3 - a_2 = a_4 - a_3\) Thay các giá trị đã biết vào, ta có: 1. \(x - 5 = 15 - x\) 2. \(15 - x = y - 15\) Giải phương trình thứ nhất: \[ x - 5 = 15 - x \] \[ 2x = 20 \] \[ x = 10 \] Giải phương trình thứ hai: \[ 15 - x = y - 15 \] Thay \(x = 10\) vào: \[ 15 - 10 = y - 15 \] \[ 5 = y - 15 \] \[ y = 20 \] Vậy, ta có \(x = 10\) và \(y = 20\). Bây giờ, tính giá trị của biểu thức \(3x + 2y\): \[ 3x + 2y = 3(10) + 2(20) = 30 + 40 = 70 \] Do đó, giá trị của \(3x + 2y\) là 70. Vậy đáp án đúng là B. 70. Câu 11: Ta có: $S=1+2+2^2+...+2^{99}$ $2S=2+2^2+2^3+...+2^{100}$ Trừ hai vế ta có: $S=2^{100}-1$ Câu 12: Để xác định hàm số nào trong các hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn, chúng ta cần kiểm tra xem liệu tồn tại một hằng số \( T > 0 \) sao cho \( f(x + T) = f(x) \) với mọi \( x \). A. \( y = x \cos x \) Kiểm tra tính tuần hoàn: \[ f(x + T) = (x + T) \cos(x + T) \] \[ f(x) = x \cos x \] Rõ ràng \( (x + T) \cos(x + T) \neq x \cos x \) vì \( T \) sẽ ảnh hưởng đến cả \( x \) và \( \cos x \). Do đó, \( y = x \cos x \) không phải là hàm số tuần hoàn. B. \( y = x + \sin x \) Kiểm tra tính tuần hoàn: \[ f(x + T) = (x + T) + \sin(x + T) \] \[ f(x) = x + \sin x \] Rõ ràng \( (x + T) + \sin(x + T) \neq x + \sin x \) vì \( T \) sẽ ảnh hưởng đến cả \( x \) và \( \sin x \). Do đó, \( y = x + \sin x \) không phải là hàm số tuần hoàn. C. \( y = \frac{\sin x}{x} \) Kiểm tra tính tuần hoàn: \[ f(x + T) = \frac{\sin(x + T)}{x + T} \] \[ f(x) = \frac{\sin x}{x} \] Rõ ràng \( \frac{\sin(x + T)}{x + T} \neq \frac{\sin x}{x} \) vì \( T \) sẽ ảnh hưởng đến cả tử số và mẫu số. Do đó, \( y = \frac{\sin x}{x} \) không phải là hàm số tuần hoàn. D. \( y = \sin \frac{2x}{3} \) Kiểm tra tính tuần hoàn: \[ f(x + T) = \sin \left( \frac{2(x + T)}{3} \right) = \sin \left( \frac{2x + 2T}{3} \right) \] \[ f(x) = \sin \left( \frac{2x}{3} \right) \] Để \( f(x + T) = f(x) \), ta cần: \[ \sin \left( \frac{2x + 2T}{3} \right) = \sin \left( \frac{2x}{3} \right) \] Điều này xảy ra nếu \( \frac{2T}{3} \) là bội số của \( 2\pi \): \[ \frac{2T}{3} = 2k\pi \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ T = 3k\pi \] Do đó, \( y = \sin \frac{2x}{3} \) là hàm số tuần hoàn với chu kỳ \( T = 3\pi \). Kết luận: Hàm số tuần hoàn là \( D.~y=\sin\frac{2x}{3}. \)