cvhjb hụi để hỏi nguyên cái

Câu 1: Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích từng mệnh đề dựa trên các thông tin đã cho về cấp số nhân. Gọi $u_1$ là số hạng đầu tiên và $q$ là công bội của cấp số nhân. Khi đó, các số hạng của cấp số nhân có dạng: $u_1, u_1q, u_1q^2, u_1q^3, \ldots$ Theo đề bài, ta có các điều kiện sau: 1. Tích của số hạng đầu và số hạng thứ hai bằng 1: \[ u_1 \cdot u_1q = 1 \implies u_1^2q = 1 \quad (1) \] 2. Tích của số hạng thứ ba và số hạng thứ năm bằng $\frac{1}{16}$: \[ u_1q^2 \cdot u_1q^4 = \frac{1}{16} \implies u_1^2q^6 = \frac{1}{16} \quad (2) \] Từ (1), ta có $u_1^2 = \frac{1}{q}$. Thay vào (2), ta được: \[ \frac{1}{q} \cdot q^6 = \frac{1}{16} \implies q^5 = \frac{1}{16} \implies q = \left(\frac{1}{16}\right)^{\frac{1}{5}} \] Tuy nhiên, để đơn giản hóa, ta có thể thử các giá trị hợp lý cho $q$. Giả sử $q = \frac{1}{2}$, ta kiểm tra: - Từ (1): $u_1^2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \implies u_1^2 = 2 \implies u_1 = \sqrt{2}$ (vì $u_1$ dương). - Từ (2): $u_1^2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^6 = \frac{1}{16} \implies 2 \cdot \frac{1}{64} = \frac{1}{16}$, điều này đúng. Vậy $q = \frac{1}{2}$ và $u_1 = \sqrt{2}$ là thỏa mãn. Bây giờ, ta xét từng mệnh đề: a) Công bội $q$ của cấp số nhân đã cho là số dương. - Đúng, vì $q = \frac{1}{2}$ là số dương. b) Số hạng thứ 10 của cấp số nhân là $u_{10} = \left(\frac{1}{2}\right)^9$. - Số hạng thứ 10 là $u_{10} = u_1 q^9 = \sqrt{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^9 = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{512} = \frac{\sqrt{2}}{512}$. - Mệnh đề này sai vì $u_{10} \neq \left(\frac{1}{2}\right)^9$. c) Tổng của 10 số hạng đầu của cấp số nhân bằng $\frac{1023}{256}$. - Tổng của 10 số hạng đầu là $S_{10} = u_1 \frac{1 - q^{10}}{1 - q} = \sqrt{2} \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{10}}{1 - \frac{1}{2}}$. - Tính toán: $S_{10} = \sqrt{2} \cdot \frac{1 - \frac{1}{1024}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{2} \cdot 2 \cdot \left(1 - \frac{1}{1024}\right) = 2\sqrt{2} \cdot \frac{1023}{1024}$. - Mệnh đề này sai vì $S_{10} \neq \frac{1023}{256}$. d) Số hạng đầu của cấp số nhân đã cho là $u_1 = 2$. - Sai, vì $u_1 = \sqrt{2}$. Tóm lại, các mệnh đề đúng là: a). Câu 2: a) Ta có \( u_n = 2 + \frac{5}{5^n} = 2 + \frac{1}{5^{n-1}} \). Vì \( n \geq 1 \) nên \( 5^{n-1} \geq 1 \), suy ra \( \frac{1}{5^{n-1}} \leq 1 \). Do đó, \( 2 < u_n \leq 3 \). Vậy dãy số \( (u_n) \) là dãy số bị chặn. b) Số hạng thứ 5 của dãy số là \( u_5 = 2 + \frac{5}{5^5} = 2 + \frac{5}{3125} = 2 + \frac{1}{625} = \frac{1250}{625} + \frac{1}{625} = \frac{1251}{625} \neq \frac{255}{125} \). Vậy mệnh đề này sai. c) Ta có \( u_{n+1} = 2 + \frac{5}{5^{n+1}} = 2 + \frac{5}{5 \cdot 5^n} = 2 + \frac{1}{5^n} \). Vậy mệnh đề này đúng. d) Ta có \( u_{n+1} - u_n = \left( 2 + \frac{1}{5^n} \right) - \left( 2 + \frac{1}{5^{n-1}} \right) = \frac{1}{5^n} - \frac{1}{5^{n-1}} = \frac{1}{5^n} - \frac{5}{5^n} = -\frac{4}{5^n} < 0 \). Vậy dãy số \( (u_n) \) là dãy số giảm. Câu 3: Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác cơ bản và các tính chất của góc trong khoảng \(\pi < x < \frac{3\pi}{2}\). Bước 1: Tìm \(\cos x\) và \(\sin x\) Cho \(\cos 2x = \frac{1}{7}\) và \(\pi < x < \frac{3\pi}{2}\). Sử dụng công thức \(\cos 2x = 2\cos^2 x - 1\): \[ \frac{1}{7} = 2\cos^2 x - 1 \] \[ 2\cos^2 x = \frac{1}{7} + 1 = \frac{8}{7} \] \[ \cos^2 x = \frac{4}{7} \] \[ \cos x = -\frac{2\sqrt{7}}{7} \quad (\text{vì } \pi < x < \frac{3\pi}{2}) \] Tiếp theo, tìm \(\sin x\) sử dụng \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\): \[ \sin^2 x = 1 - \left(-\frac{2\sqrt{7}}{7}\right)^2 = 1 - \frac{4}{7} = \frac{3}{7} \] \[ \sin x = -\frac{\sqrt{21}}{7} \quad (\text{vì } \pi < x < \frac{3\pi}{2}) \] Bước 2: Kiểm tra các mệnh đề Mệnh đề a) \(\cos x + \cos 3x = \frac{4\sqrt{7}}{49}\) Sử dụng công thức \(\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x\): \[ \cos 3x = 4\left(-\frac{2\sqrt{7}}{7}\right)^3 - 3\left(-\frac{2\sqrt{7}}{7}\right) \] \[ = 4\left(-\frac{8\sqrt{7}}{343}\right) + \frac{6\sqrt{7}}{7} \] \[ = -\frac{32\sqrt{7}}{343} + \frac{6\sqrt{7}}{7} \] \[ = -\frac{32\sqrt{7}}{343} + \frac{308\sqrt{7}}{343} \] \[ = \frac{276\sqrt{7}}{343} \] Kiểm tra: \[ \cos x + \cos 3x = -\frac{2\sqrt{7}}{7} + \frac{276\sqrt{7}}{343} \] \[ = -\frac{98\sqrt{7}}{343} + \frac{276\sqrt{7}}{343} \] \[ = \frac{178\sqrt{7}}{343} \neq \frac{4\sqrt{7}}{49} \] Mệnh đề a) sai. Mệnh đề b) \(\cos x = -\frac{2\sqrt{7}}{7}\) Đã kiểm tra ở trên, \(\cos x = -\frac{2\sqrt{7}}{7}\). Mệnh đề b) đúng. Mệnh đề c) \(\sin x = \frac{\sqrt{21}}{7}\) Đã kiểm tra ở trên, \(\sin x = -\frac{\sqrt{21}}{7}\). Mệnh đề c) sai. Mệnh đề d) \(\tan(x - \frac{\pi}{4}) = -7 + 4\sqrt{3}\) Sử dụng công thức \(\tan(a - b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b}\): \[ \tan(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\tan x - 1}{1 + \tan x} \] Tìm \(\tan x\): \[ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{-\frac{\sqrt{21}}{7}}{-\frac{2\sqrt{7}}{7}} = \frac{\sqrt{21}}{2\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Kiểm tra: \[ \tan(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} - 1}{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}} \] \[ = \frac{\frac{\sqrt{3} - 2}{2}}{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}} \] \[ = \frac{\sqrt{3} - 2}{2 + \sqrt{3}} \] \[ = \frac{(\sqrt{3} - 2)(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} \] \[ = \frac{2\sqrt{3} - 3 - 4 + 2\sqrt{3}}{4 - 3} \] \[ = \frac{4\sqrt{3} - 7}{1} \] \[ = 4\sqrt{3} - 7 \] Mệnh đề d) đúng. Kết luận - Mệnh đề a) sai - Mệnh đề b) đúng - Mệnh đề c) sai - Mệnh đề d) đúng Câu 4: Dựa vào hình vẽ, điểm \( M \) nằm ở góc phần tư thứ hai của đường tròn lượng giác. Trong góc phần tư này, ta có: - \(\cos\alpha < 0\) - \(\sin\alpha > 0\) - \(\tan\alpha < 0\) (vì \(\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)) Bây giờ, ta xét từng mệnh đề: a) \(\cos\alpha \cdot (1+\tan^2\alpha) > 0\) - \(\tan^2\alpha \geq 0\) với mọi \(\alpha\), nên \(1+\tan^2\alpha > 0\). - \(\cos\alpha < 0\). Vậy \(\cos\alpha \cdot (1+\tan^2\alpha) < 0\). Mệnh đề a) sai. b) \(\cos\alpha \cdot \tan\alpha > 0\) - \(\cos\alpha < 0\) - \(\tan\alpha < 0\) Tích của hai số âm là số dương, nên \(\cos\alpha \cdot \tan\alpha > 0\). Mệnh đề b) đúng. c) \(\frac{2\sin\alpha-\sin2\alpha}{2(1-\cos\alpha)} < 0\) - \(\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\), nên \(2\sin\alpha - \sin2\alpha = 2\sin\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha = 2\sin\alpha(1-\cos\alpha)\). - Tử số: \(2\sin\alpha(1-\cos\alpha)\). - Mẫu số: \(2(1-\cos\alpha)\). Vì \(\sin\alpha > 0\) và \(1-\cos\alpha > 0\), nên tử số và mẫu số đều dương. Do đó, \(\frac{2\sin\alpha-\sin2\alpha}{2(1-\cos\alpha)} > 0\). Mệnh đề c) sai. d) \(\cos\alpha < 0\) Điều này đúng vì điểm \( M \) nằm ở góc phần tư thứ hai. Mệnh đề d) đúng. Tóm lại: - Mệnh đề a) sai. - Mệnh đề b) đúng. - Mệnh đề c) sai. - Mệnh đề d) đúng. Câu 1: Ta có: \[ A = (\cos \alpha + \cos \beta)^2 + (\sin \alpha + \sin \beta)^2 \] Mở rộng các bình phương: \[ A = \cos^2 \alpha + 2 \cos \alpha \cos \beta + \cos^2 \beta + \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \sin \beta + \sin^2 \beta \] Nhóm các hạng tử: \[ A = (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) + (\cos^2 \beta + \sin^2 \beta) + 2 (\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) \] Sử dụng công thức lượng giác cơ bản \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\): \[ A = 1 + 1 + 2 (\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) \] \[ A = 2 + 2 (\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) \] Sử dụng công thức cộng cosin: \[ \cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \] Biết rằng \(\alpha - \beta = \frac{\pi}{3}\), ta có: \[ \cos \left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2} \] Thay vào biểu thức: \[ A = 2 + 2 \cdot \frac{1}{2} \] \[ A = 2 + 1 \] \[ A = 3 \] Vậy giá trị của biểu thức \(A\) là 3. Câu 2: Để tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định tổng số học sinh: \[ 100 + 400 + 500 + 100 + 100 = 1200 \] Bước 2: Tìm vị trí của trung vị. Vì tổng số học sinh là 1200 (số chẵn), trung vị sẽ nằm ở vị trí thứ \(\frac{1200}{2} = 600\) và \(\frac{1200}{2} + 1 = 601\). Bước 3: Xác định khoảng chứa trung vị. Ta thấy rằng: - Số học sinh trong khoảng \([0;2)\) là 100. - Số học sinh trong khoảng \([2;4)\) là 400. - Số học sinh trong khoảng \([4;6)\) là 500. Tổng số học sinh trong khoảng \([0;6)\) là: \[ 100 + 400 + 500 = 1000 \] Vì 600 và 601 đều nằm trong khoảng \([4;6)\), ta kết luận rằng trung vị nằm trong khoảng \([4;6)\). Bước 4: Tính trung vị cụ thể trong khoảng \([4;6)\). Vì trung vị nằm ở vị trí thứ 600 và 601, ta lấy giá trị trung bình của hai vị trí này: \[ \text{Trung vị} = \frac{4 + 6}{2} = 5 \] Vậy, trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm này là 5. Câu 3: Số ghế ở hàng thứ 20 là: \( 20 + (20 - 1) \times 4 = 96 \) (ghế) Tổng số ghế trong nhà thi đấu là: \( (20 + 96) \times 20 : 2 = 1160 \) (ghế) Giá tiền của mỗi vé là: \( 116000 : 1160 = 100 \) (nghìn đồng) Đáp số: 100 nghìn đồng