tụnbbb. bbbbbbbbvvbb. bhhhhh

Câu 4: Để tìm thời điểm con sóng đạt cực đại trong khoảng 15 giây đầu tiên, chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( h(t) = 75\sin\left(\frac{\pi t}{8}\right) \) trong khoảng \( 0 \leq t \leq 15 \). Bước 1: Tìm điều kiện xác định Hàm số \( h(t) = 75\sin\left(\frac{\pi t}{8}\right) \) là hàm số lượng giác, luôn xác định với mọi giá trị của \( t \). Do đó, không cần điều kiện xác định cho hàm số này. Bước 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số Hàm số \( h(t) = 75\sin\left(\frac{\pi t}{8}\right) \) có dạng \( a\sin(bx) \), trong đó \( a = 75 \) và \( b = \frac{\pi}{8} \). Giá trị của hàm số \( \sin(x) \) dao động trong khoảng từ -1 đến 1. Do đó, giá trị của \( h(t) \) sẽ dao động trong khoảng từ \(-75\) đến \(75\). Bước 3: Tìm thời điểm đạt giá trị lớn nhất Hàm số \( \sin(x) \) đạt giá trị lớn nhất là 1 khi \( x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \) với \( k \) là số nguyên. Do đó, ta cần giải phương trình: \[ \frac{\pi t}{8} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \] Giải phương trình này: \[ \frac{\pi t}{8} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \implies t = 4 + 16k \] Bước 4: Xác định giá trị \( t \) trong khoảng \( 0 \leq t \leq 15 \) Ta cần tìm các giá trị \( t \) thỏa mãn \( 0 \leq t \leq 15 \). - Với \( k = 0 \), ta có \( t = 4 \). - Với \( k = 1 \), ta có \( t = 20 \), không thỏa mãn điều kiện \( t \leq 15 \). Vậy, trong khoảng \( 0 \leq t \leq 15 \), thời điểm con sóng đạt cực đại là khi \( t = 4 \). Kết luận Thời điểm con sóng đạt cực đại trong khoảng 15 giây đầu tiên là lúc \( t = 4 \) giây. Giá trị lớn nhất của chiều cao sóng là 75 cm. Câu 5: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các công thức liên quan đến cấp số cộng. Gọi \( u_1 \) là số hạng đầu tiên và \( d \) là công sai của cấp số cộng. Các số hạng của cấp số cộng có thể viết dưới dạng: \[ u_n = u_1 + (n-1)d \] Theo đề bài, ta có hai phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} u_1 - u_3 + u_5 = 15 \\ u_1 + u_6 = 27 \end{array} \right. \] Thay các số hạng \( u_3 \), \( u_5 \), và \( u_6 \) vào các phương trình trên: \[ u_3 = u_1 + 2d \] \[ u_5 = u_1 + 4d \] \[ u_6 = u_1 + 5d \] Ta có: \[ \left\{ \begin{array}{l} u_1 - (u_1 + 2d) + (u_1 + 4d) = 15 \\ u_1 + (u_1 + 5d) = 27 \end{array} \right. \] Giản hóa các phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} u_1 - u_1 - 2d + u_1 + 4d = 15 \\ u_1 + u_1 + 5d = 27 \end{array} \right. \] \[ \left\{ \begin{array}{l} u_1 + 2d = 15 \\ 2u_1 + 5d = 27 \end{array} \right. \] Giải hệ phương trình này: 1. Từ phương trình thứ nhất: \( u_1 = 15 - 2d \) 2. Thay \( u_1 \) vào phương trình thứ hai: \[ 2(15 - 2d) + 5d = 27 \] \[ 30 - 4d + 5d = 27 \] \[ 30 + d = 27 \] \[ d = -3 \] 3. Thay \( d = -3 \) vào \( u_1 = 15 - 2d \): \[ u_1 = 15 - 2(-3) \] \[ u_1 = 15 + 6 \] \[ u_1 = 21 \] Bây giờ, ta cần tìm \( u_{10} \): \[ u_{10} = u_1 + 9d \] \[ u_{10} = 21 + 9(-3) \] \[ u_{10} = 21 - 27 \] \[ u_{10} = -6 \] Vậy, giá trị của \( u_{10} \) là \(-6\). Câu 6: Để giải bài toán này, ta cần tính tổng của tất cả các số hạng trong cấp số nhân đã cho. Trước tiên, ta cần xác định các yếu tố cơ bản của cấp số nhân. Bước 1: Xác định các yếu tố của cấp số nhân Cấp số nhân có số hạng đầu tiên là \( a_1 = \frac{1}{4} \). Công bội \( q \) của cấp số nhân được tính bằng cách lấy số hạng thứ hai chia cho số hạng thứ nhất: \[ q = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}} = 2 \] Bước 2: Xác định số hạng tổng quát và số lượng số hạng Số hạng tổng quát của cấp số nhân được cho bởi công thức: \[ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \] Theo đề bài, số hạng cuối cùng là 4096. Do đó, ta có phương trình: \[ a_n = \frac{1}{4} \cdot 2^{n-1} = 4096 \] Giải phương trình này để tìm \( n \): \[ 2^{n-1} = 4096 \times 4 = 16384 \] Ta biết \( 16384 = 2^{14} \), do đó: \[ n-1 = 14 \implies n = 15 \] Vậy cấp số nhân có 15 số hạng. Bước 3: Tính tổng của cấp số nhân Tổng \( S_n \) của \( n \) số hạng đầu tiên của cấp số nhân được tính bằng công thức: \[ S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} \] Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ S_{15} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{15} - 1}{2 - 1} \] \[ = \frac{1}{4} \cdot (2^{15} - 1) \] \[ = \frac{1}{4} \cdot (32768 - 1) \] \[ = \frac{1}{4} \cdot 32767 \] \[ = 8191.75 \] Vậy tổng \( S \) của tất cả các số hạng của cấp số nhân đã cho là \( 8191.75 \). Bài 1: Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ đi từng phần một cách chi tiết. Phần a: Tính $\sin(x+\frac{\pi}{4})$ và $\cos 2x$ 1. Tính $\sin(x+\frac{\pi}{4})$: Sử dụng công thức cộng góc cho sin: \[ \sin(x + \frac{\pi}{4}) = \sin x \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \sin \frac{\pi}{4} \] Với $\cos x = \frac{3}{4}$, ta có: \[ \sin x = \pm \sqrt{1 - \cos^2 x} = \pm \sqrt{1 - \left(\frac{3}{4}\right)^2} = \pm \sqrt{\frac{7}{16}} = \pm \frac{\sqrt{7}}{4} \] Do $\frac{3\pi}{2} < x < 2\pi$, $x$ thuộc góc phần tư thứ tư, nên $\sin x < 0$. Vậy $\sin x = -\frac{\sqrt{7}}{4}$. Thay vào công thức: \[ \sin(x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{7}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{8} (3 - \sqrt{7}) \] 2. Tính $\cos 2x$: Sử dụng công thức nhân đôi cho cos: \[ \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 = 2\left(\frac{3}{4}\right)^2 - 1 = 2 \cdot \frac{9}{16} - 1 = \frac{18}{16} - 1 = \frac{2}{16} = \frac{1}{8} \] Phần b: Tìm tập xác định của các hàm số 1. Hàm số $y = \frac{\sin x}{\cos 2x + 1}$: Điều kiện xác định: - $\cos 2x + 1 \neq 0 \Rightarrow \cos 2x \neq -1$ Từ $\cos 2x = -1$, ta có $2x = \pi + 2k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, với $k \in \mathbb{Z}$. Vậy tập xác định là: $\mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\}$. 2. Hàm số $y = \sqrt{\frac{3 - \cos 2x}{1 + \sin x}}$: Điều kiện xác định: - $1 + \sin x > 0 \Rightarrow \sin x > -1$ - $3 - \cos 2x \geq 0 \Rightarrow \cos 2x \leq 3$ Điều kiện $\cos 2x \leq 3$ luôn đúng vì $\cos 2x \in [-1, 1]$. Vậy tập xác định là: $\mathbb{R}$. Phần c: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số 1. Hàm số $y = 3\sin x \cos 2x$: - $f(-x) = 3\sin(-x)\cos(-2x) = -3\sin x \cos 2x = -f(x)$ Hàm số là hàm lẻ. 2. Hàm số $y = \tan 2x$: - $f(-x) = \tan(-2x) = -\tan 2x = -f(x)$ Hàm số là hàm lẻ. 3. Hàm số $y = \sin 3x + \cot x$: - $f(-x) = \sin(-3x) + \cot(-x) = -\sin 3x - \cot x = -(\sin 3x + \cot x) = -f(x)$ Hàm số là hàm lẻ. Vậy là chúng ta đã giải quyết xong các phần của bài toán. Bài 2: Phương trình tương đương: $\cos(x-\frac{3\pi}4)=-\cos(x+\frac{\pi}3)$ $\Leftrightarrow \cos(x-\frac{3\pi}4)=\cos(-x-\frac{\pi}3)$ $\Leftrightarrow x-\frac{3\pi}4=-x-\frac{\pi}3+k2\pi$ hoặc $x-\frac{3\pi}4=x+\frac{\pi}3+k2\pi$ $\Leftrightarrow x=\frac{5\pi}{24}+k\pi$ hoặc $-\frac{13\pi}{12}=k2\pi$ (vô nghiệm) Vậy nghiệm của phương trình là $x=\frac{5\pi}{24}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$ Bài 3: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của cấp số cộng. Giả sử bốn số thực tạo thành một cấp số cộng là \(a - 3d\), \(a - d\), \(a + d\), \(a + 3d\). Theo đề bài, tổng của bốn số này bằng 28: \[ (a - 3d) + (a - d) + (a + d) + (a + 3d) = 28 \] \[ 4a = 28 \] \[ a = 7 \] Tiếp theo, tổng các bình phương của bốn số này bằng 276: \[ (a - 3d)^2 + (a - d)^2 + (a + d)^2 + (a + 3d)^2 = 276 \] Thay \(a = 7\) vào: \[ (7 - 3d)^2 + (7 - d)^2 + (7 + d)^2 + (7 + 3d)^2 = 276 \] Mở rộng các bình phương: \[ (49 - 42d + 9d^2) + (49 - 14d + d^2) + (49 + 14d + d^2) + (49 + 42d + 9d^2) = 276 \] Gộp các hạng tử tương tự: \[ 49 + 49 + 49 + 49 - 42d + 42d - 14d + 14d + 9d^2 + d^2 + d^2 + 9d^2 = 276 \] \[ 196 + 20d^2 = 276 \] \[ 20d^2 = 80 \] \[ d^2 = 4 \] \[ d = 2 \text{ hoặc } d = -2 \] Với \(d = 2\) hoặc \(d = -2\), ta có bốn số là: - Khi \(d = 2\): \(7 - 3 \cdot 2 = 1\), \(7 - 2 = 5\), \(7 + 2 = 9\), \(7 + 3 \cdot 2 = 13\) - Khi \(d = -2\): \(7 - 3 \cdot (-2) = 13\), \(7 - (-2) = 9\), \(7 + (-2) = 5\), \(7 + 3 \cdot (-2) = 1\) Tích của bốn số này là: \[ 1 \cdot 5 \cdot 9 \cdot 13 \] Tính tích: \[ 1 \cdot 5 = 5 \] \[ 5 \cdot 9 = 45 \] \[ 45 \cdot 13 = 585 \] Vậy tích của bốn số đó là 585.