Tìm tổng bình phương của $n$ số tự nhiên đầu tiên.

Question

Accepted Answer

Câu hỏi:
Tìm tổng bình phương của $$n$$ số tự nhiên đầu tiên.
Vui lòng lập luận từng bước.

Câu trả lời:
Ta có tổng bình phương của $$n$$ số tự nhiên đầu tiên là:
$$ S = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 $$

Chúng ta sẽ chứng minh công thức này bằng phương pháp quy nạp toán học.

Bước 1: Kiểm tra công thức đúng với $ n = 1 $:
$$ S_1 = 1^2 = 1 $$
$$ \frac{1(1+1)(2 \cdot 1 + 1)}{6} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6} = 1 $$
Vậy công thức đúng với $ n = 1 $.

Bước 2: Giả sử công thức đúng với $ n = k $, tức là:
$$ S_k = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + k^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} $$

Bước 3: Ta cần chứng minh công thức cũng đúng với $ n = k + 1 $:
$$ S_{k+1} = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + k^2 + (k+1)^2 $$
$$ S_{k+1} = S_k + (k+1)^2 $$
$$ S_{k+1} = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 $$

Chúng ta sẽ biến đổi vế phải để chứng minh nó bằng $\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$:
$$ S_{k+1} = \frac{k(k+1)(2k+1) + 6(k+1)^2}{6} $$
$$ S_{k+1} = \frac{(k+1)[k(2k+1) + 6(k+1)]}{6} $$
$$ S_{k+1} = \frac{(k+1)(2k^2 + k + 6k + 6)}{6} $$
$$ S_{k+1} = \frac{(k+1)(2k^2 + 7k + 6)}{6} $$
$$ S_{k+1} = \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6} $$

Vậy công thức đúng với $ n = k + 1 $.

Do đó, công thức $ S = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $ đúng với mọi $ n \geq 1 $.

Đáp số: Tổng bình phương của $ n $ số tự nhiên đầu tiên là $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.