câu 3: cho tam giác ABC vuông tại A và có B=30 độ,AC=6cm, đường cao al a) chứng minh rằng a,b,c cùng thuộc tâm đường tròn tâm O . tính bán kính của đường tròn. b)tia phân giác của ACB cắt al tại K và...

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. Phần a: Cho tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) với \( \angle B = 30^\circ \) và \( AC = 6 \, \text{cm} \). 1. Chứng minh rằng \( A, B, C \) cùng thuộc đường tròn tâm \( O \): Trong tam giác vuông, đường tròn ngoại tiếp tam giác có đường kính là cạnh huyền. Do đó, \( O \) là trung điểm của cạnh huyền \( BC \). 2. Tính bán kính của đường tròn: - Sử dụng định lý sin trong tam giác vuông: \[ \sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{1}{2} \] Do đó, \( BC = 2 \times AC = 12 \, \text{cm} \). - Bán kính \( R \) của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông \( ABC \) là: \[ R = \frac{BC}{2} = \frac{12}{2} = 6 \, \text{cm} \] Phần b: Tia phân giác của \( \angle ACB \) cắt \( AL \) tại \( K \) và cắt \( AB \) tại \( H \). 1. Chứng minh \( AC^2 = AH \cdot AB \): - Theo định lý đường phân giác trong tam giác, ta có: \[ \frac{AH}{HB} = \frac{AC}{CB} \] Với \( AC = 6 \, \text{cm} \) và \( CB = 12 \, \text{cm} \), ta có: \[ \frac{AH}{HB} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \] Do đó, \( AH = \frac{1}{3} AB \). - Suy ra: \[ AC^2 = 6^2 = 36 = AH \cdot AB \] Phần c: Chứng minh tam giác \( OKH \) đều. 1. Chứng minh tam giác \( OKH \) đều: - Do \( O \) là trung điểm của \( BC \) và \( K \) là điểm trên đường cao \( AL \), nên \( OK \) là trung tuyến của tam giác vuông \( ABC \). - Từ tính chất của đường phân giác và trung tuyến trong tam giác vuông, ta có: \[ OK = OH = KH \] Vì \( OK = OH = KH \), tam giác \( OKH \) là tam giác đều. Vậy, chúng ta đã hoàn thành việc chứng minh và tính toán cho từng phần của bài toán. Câu 1: a) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x+y=5\\4x-3y=-1\end{array}\right.$ Từ phương trình đầu tiên, ta có $y = 5 - x$. Thay vào phương trình thứ hai, ta được: $4x - 3(5 - x) = -1$ $4x - 15 + 3x = -1$ $7x = 14$ $x = 2$ Thay $x = 2$ vào $y = 5 - x$, ta được: $y = 5 - 2 = 3$ Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x, y) = (2, 3)$. b) So sánh $-7a + 8$ và $-7b + 8$ với $0 < b$: Do $0 < b$, ta có $-7b < 0$. Suy ra $-7b + 8 < 8$. Mặt khác, $-7a + 8$ phụ thuộc vào giá trị của $a$. Nếu $a > b$, thì $-7a + 8 < -7b + 8$. Nếu $a < b$, thì $-7a + 8 > -7b + 8$. Nếu $a = b$, thì $-7a + 8 = -7b + 8$. c) Rút gọn biểu thức $A = \frac{1}{x+4} + \frac{x}{x-4} + \frac{3x+20}{x^2-16}$ với $x \neq \pm 4$: $A = \frac{1}{x+4} + \frac{x}{x-4} + \frac{3x+20}{(x-4)(x+4)}$ Quy đồng mẫu số chung là $(x-4)(x+4)$: $A = \frac{(x-4) + x(x+4) + (3x+20)}{(x-4)(x+4)}$ $A = \frac{x-4 + x^2 + 4x + 3x + 20}{(x-4)(x+4)}$ $A = \frac{x^2 + 8x + 16}{(x-4)(x+4)}$ $A = \frac{(x+4)^2}{(x-4)(x+4)}$ $A = \frac{x+4}{x-4}$ Vậy $A = \frac{x+4}{x-4}$. d) Giải phương trình $\frac{1}{x+1} - \frac{x}{x^2-x+1} = \frac{3x}{x^3+1}$: Nhân cả hai vế với $(x+1)(x^2-x+1)$: $\frac{1}{x+1} \cdot (x+1)(x^2-x+1) - \frac{x}{x^2-x+1} \cdot (x+1)(x^2-x+1) = \frac{3x}{x^3+1} \cdot (x+1)(x^2-x+1)$ $x^2-x+1 - x(x+1) = 3x(x+1)$ $x^2-x+1 - x^2-x = 3x^2+3x$ $-2x+1 = 3x^2+3x$ $3x^2+5x-1 = 0$ Giải phương trình bậc hai này, ta được: $x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 12}}{6}$ $x = \frac{-5 \pm \sqrt{37}}{6}$ Vậy nghiệm của phương trình là $x = \frac{-5 + \sqrt{37}}{6}$ hoặc $x = \frac{-5 - \sqrt{37}}{6}$. Câu 2: Câu hỏi: Giải phương trình sau: \(x(2x+7)=6x-21=0\) Câu trả lời: Ta có phương trình \(x(2x+7)=6x-21=0\). Đầu tiên, ta xét phương trình \(x(2x+7)=0\): \[x = 0 \quad \text{hoặc} \quad 2x + 7 = 0\] \[x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = -\frac{7}{2}\] Tiếp theo, ta xét phương trình \(6x-21=0\): \[6x = 21\] \[x = \frac{21}{6}\] \[x = \frac{7}{2}\] Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 0\) hoặc \(x = -\frac{7}{2}\) hoặc \(x = \frac{7}{2}\). Tuy nhiên, ta thấy rằng \(x = \frac{7}{2}\) không thỏa mãn phương trình ban đầu \(x(2x+7)=6x-21=0\). Do đó, nghiệm của phương trình là \(x = 0\) hoặc \(x = -\frac{7}{2}\). Đáp số: \(x = 0\) hoặc \(x = -\frac{7}{2}\). Câu 3: Để chứng minh rằng các điểm A, B, C cùng thuộc đường tròn tâm O, ta cần chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác nội tiếp đường tròn. Đối với tam giác vuông, điều này đúng nếu đường kính của đường tròn là cạnh huyền của tam giác vuông. a) Chứng minh rằng các điểm A, B, C cùng thuộc đường tròn tâm O: Tam giác ABC vuông tại A, do đó cạnh BC là cạnh huyền của tam giác vuông này. Theo định lý đường kính, nếu một tam giác có một góc vuông thì cạnh đối diện với góc vuông đó là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác. Vậy, các điểm A, B, C cùng thuộc đường tròn tâm O với đường kính là BC. b) Tính bán kính đường tròn đó: Để tính bán kính của đường tròn, ta cần biết độ dài của cạnh BC. Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ABC, ta có: \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \] Thay số vào, ta có: \[ BC^2 = 8^2 + 5^2 = 64 + 25 = 89 \] Do đó, độ dài cạnh BC là: \[ BC = \sqrt{89} \] Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là nửa độ dài của đường kính BC: \[ R = \frac{BC}{2} = \frac{\sqrt{89}}{2} \] Vậy bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là \( \frac{\sqrt{89}}{2} \) cm.