Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn $2x^3+2y^2+3x-6y=5xy-7$.

Ta có: \(2x^3+2y^2+3x-6y=5xy-7\) \(\Leftrightarrow 2x^3+2y^2+3x-6y-5xy+7=0\) \(\Leftrightarrow 2x^3+2y^2+3x-6y-5xy+7=0\) \(\Leftrightarrow 2x^3+2y^2+3x-6y-5xy+7=0\) \(\Leftrightarrow 2x^3+2y^2+3x-6y-5xy+7=0\) Ta thấy rằng \(2x^3\) và \(2y^2\) đều chia hết cho 2, nên \(3x-6y-5xy+7\) cũng phải chia hết cho 2. Do đó, \(3x-6y-5xy+7\) phải là số lẻ. Nhưng \(3x-6y-5xy+7\) là số lẻ nếu và chỉ nếu \(3x-6y-5xy\) là số chẵn. Mà \(3x-6y-5xy\) là số chẵn nếu và chỉ nếu \(3x-5xy\) là số chẵn. Do đó, \(3x-5xy\) phải là số chẵn. Nhưng \(3x-5xy\) là số chẵn nếu và chỉ nếu \(3x\) và \(5xy\) cùng tính chất chẵn lẻ. Do đó, \(x\) và \(y\) phải cùng tính chất chẵn lẻ. Xét hai trường hợp: 1. \(x\) và \(y\) đều là số chẵn. 2. \(x\) và \(y\) đều là số lẻ. Trường hợp 1: \(x\) và \(y\) đều là số chẵn. Giả sử \(x = 2a\) và \(y = 2b\), với \(a, b \in \mathbb{Z}\). Thay vào phương trình ta có: \(2(2a)^3+2(2b)^2+3(2a)-6(2b)=5(2a)(2b)-7\) \(\Leftrightarrow 16a^3+8b^2+6a-12b=20ab-7\) \(\Leftrightarrow 16a^3+8b^2+6a-12b-20ab+7=0\) Phương trình này không có nghiệm nguyên. Trường hợp 2: \(x\) và \(y\) đều là số lẻ. Giả sử \(x = 2a+1\) và \(y = 2b+1\), với \(a, b \in \mathbb{Z}\). Thay vào phương trình ta có: \(2(2a+1)^3+2(2b+1)^2+3(2a+1)-6(2b+1)=5(2a+1)(2b+1)-7\) \(\Leftrightarrow 2(8a^3+12a^2+6a+1)+2(4b^2+4b+1)+6a+3-12b-6=5(4ab+2a+2b+1)-7\) \(\Leftrightarrow 16a^3+24a^2+12a+2+8b^2+8b+2+6a+3-12b-6=20ab+10a+10b+5-7\) \(\Leftrightarrow 16a^3+24a^2+18a+8b^2-4b+1=20ab+10a+10b-2\) \(\Leftrightarrow 16a^3+24a^2+8a+8b^2-14b+3=20ab\) Phương trình này có nghiệm nguyên là \(a = 0\) và \(b = 0\). Do đó, \(x = 2a+1 = 1\) và \(y = 2b+1 = 1\). Vậy cặp số nguyên \((x; y)\) thỏa mãn phương trình là \((1; 1)\).