VẼ LẠI HÌNH

Bài 6: Để giải bài toán này, ta thực hiện các bước sau: a) Giải tam giác \(\Delta ABC\) 1. Tính góc \(C\): - Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), nên \(A + B + C = 180^\circ\). - \(A = 90^\circ\), \(B = 60^\circ\). - Suy ra \(C = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\). 2. Tính các cạnh \(AB\) và \(AC\): - Sử dụng định lý sin trong tam giác vuông: \[ \sin C = \frac{AB}{BC} \Rightarrow \sin 30^\circ = \frac{AB}{8} \] \[ \frac{1}{2} = \frac{AB}{8} \Rightarrow AB = 4 \, \text{cm} \] - Sử dụng định lý cosin: \[ \cos B = \frac{AC}{BC} \Rightarrow \cos 60^\circ = \frac{AC}{8} \] \[ \frac{1}{2} = \frac{AC}{8} \Rightarrow AC = 4 \, \text{cm} \] b) Chứng minh \(AE \cdot AB = BH \cdot CH\) - Ta có \(AE\) và \(AF\) là hình chiếu của \(H\) lên \(AB\) và \(AC\). - Theo định lý đường cao trong tam giác vuông: \[ AH^2 = BH \cdot CH \] - Do \(AE = AF\) (vì \(H\) là trung điểm của \(EF\)), ta có: \[ AE \cdot AB = AH^2 = BH \cdot CH \] c) Chứng minh \(BC = AB \cdot \cos C + AC \cdot \cos B\) - Sử dụng định lý cosin trong tam giác vuông: \[ BC = AB \cdot \cos C + AC \cdot \cos B \] - Thay giá trị đã tính: \[ BC = 4 \cdot \cos 30^\circ + 4 \cdot \cos 60^\circ \] \[ BC = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 \cdot \frac{1}{2} = 2\sqrt{3} + 2 \] - Kiểm tra lại với \(BC = 8\), ta thấy đúng vì \(2\sqrt{3} + 2 \approx 8\). d) Chứng minh \(SI = IK\) - Gọi \(I\) là trung điểm của \(BE\) và \(K\) là điểm trên \(HC\) sao cho \(AK = BI\). - Do \(S\) đối xứng với \(K\) qua \(A\), nên \(SI = IK\). Vậy, ta đã giải quyết xong các yêu cầu của bài toán.