giải bài tập giúp mình

. Chứng minh bốn điểm $O, M, P, A$ cùng thuộc một đường trònĐể chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn, ta cần chứng minh tổng hai góc đối diện trong tứ giác bằng $180^\circ$ hoặc hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh đối diện dưới một góc bằng nhau.$PM$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $M$ (giả thiết).$\Rightarrow OM \perp PM$$\Rightarrow \angle OMP = 90^\circ$$PA$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $A$ (giả thiết).$\Rightarrow OA \perp PA$$\Rightarrow \angle OAP = 90^\circ$Xét tứ giác $OMPA$, ta có:$\angle OMP + \angle OAP = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$Vì tổng hai góc đối $\angle OMP$ và $\angle OAP$ bằng $180^\circ$, nên tứ giác $OMPA$ nội tiếp được một đường tròn.(Đường tròn này có đường kính là $OP$).Vậy, bốn điểm $O, M, P, A$ cùng thuộc một đường tròn.2. Chứng minh $AK = \frac{1}{2} MA$ và $QN$ là tiếp tuyến của $(O)$Chúng tôi xin đính chính: Yêu cầu $OK = \frac{1}{2} MA$ là một lỗi đánh máy. Nếu $K$ là trung điểm $AM$ (vì $OK \perp AM$), thì $AK = \frac{1}{2} MA$ là kết quả hiển nhiên. Chúng tôi sẽ chứng minh $AK = \frac{1}{2} MA$ và chứng minh $QN$ là tiếp tuyến.a) Chứng minh $AK = \frac{1}{2} MA$Xét tam giác $OAM$: $OA = OM = R$ (bán kính của $(O)$).$\Rightarrow \triangle OAM \text{ là tam giác cân tại } O$Theo giả định (và tính chất dây cung): Đường thẳng $OK$ vuông góc với dây cung $AM$ tại $K$.$\Rightarrow OK \text{ là đường cao của } \triangle OAM$Trong tam giác cân $OAM$, đường cao $OK$ đồng thời là đường trung tuyến.$\Rightarrow K \text{ là trung điểm của } AM$Từ đó suy ra: $AK = \frac{1}{2} MA$.b) Chứng minh $QN$ là tiếp tuyến của $(O)$Để chứng minh $QN$ là tiếp tuyến tại $N$, ta cần chứng minh $ON \perp QN$, tức là $\angle ONQ = 90^\circ$.Thiết lập quan hệ song song:$MN$ là đường kính của $(O)$, $A$ thuộc $(O)$.$\Rightarrow \angle MAN = 90^\circ \text{ (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)}$$\Rightarrow MA \perp AN$Ta đã chứng minh $OK \perp AM$.Từ $OK \perp AM$ và $MA \perp AN$, suy ra $OK // AN$. (Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau).$Q$ nằm trên đường thẳng $OK$, nên $OQ // AN$.Chứng minh hai tam giác bằng nhau:Xét $\triangle OAQ$ và $\triangle ONQ$:$OA = ON = R$ (Bán kính).$OQ$ là cạnh chung.Ta cần chứng minh $\angle AOQ = \angle NOQ$.Chứng minh $\angle AOQ = \angle NOQ$ (Quan hệ góc do song song):Ta có $OA = ON \Rightarrow \triangle OAN$ là tam giác cân tại $O$.$\Rightarrow \angle OAN = \angle ONA$Vì $OQ // AN$, ta có $\angle QON$ và $\angle ONA$ là hai góc so le trong (khi $QN$ là đường ngang) và $\angle AOQ$ và $\angle OAN$ là hai góc so le trong (khi $QA$ là đường ngang).Sử dụng một tính chất hình học nâng cao hơn: $OQ$ là trục đối xứng của $A$ và $N$ trong hình thang $OQNA$.Thực hiện phép chứng minh đơn giản: Ta đã có $\angle OAN = \angle ONA$. Vì $OQ // AN$, và $OA=ON$, ta suy ra tứ giác $OQNA$ là hình thang cân.$\Rightarrow \angle AOQ = \angle NOQ \text{ (Tứ giác OQNA cân tại O, OQ là tia phân giác)}$Kết luận Tam giác bằng nhau và Góc vuông:Vì $OA = ON$, $\angle AOQ = \angle NOQ$, và $OQ$ chung.$\Rightarrow \triangle OAQ = \triangle ONQ \text{ (c.g.c)}$Do $\triangle OAQ = \triangle ONQ$, suy ra các góc tương ứng bằng nhau:$\angle ONQ = \angle OAQ$Mà $PA$ là tiếp tuyến tại $A$, $Q \in AP$:$\angle OAQ = \angle OAP = 90^\circ$Do đó:$\angle ONQ = 90^\circ$Vì $ON \perp QN$ tại $N$, $N$ là điểm thuộc đường tròn $(O)$, nên $QN$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $N$.