giải giúp tôi với

Câu 31: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng một số kiến thức về hình học, đặc biệt là định lý về đường kính và dây cung trong đường tròn. a) Tính độ dài đoạn thẳng CD khi biết \( R = 10 \, \text{cm} \) và \( OM = 6 \, \text{cm} \). 1. Xác định các yếu tố liên quan: - \( O \) là tâm của đường tròn, \( R = 10 \, \text{cm} \) là bán kính. - \( OM = 6 \, \text{cm} \) là khoảng cách từ tâm \( O \) đến đường thẳng \( d \). 2. Sử dụng định lý về đường kính và dây cung: - Theo định lý, nếu \( OM \bot d \) thì \( M \) là trung điểm của đoạn thẳng \( CD \). - Ta có \( OH^2 = R^2 - OM^2 \). 3. Tính \( OH \): \[ OH = \sqrt{R^2 - OM^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \, \text{cm} \] 4. Tính độ dài đoạn thẳng \( CD \): - Vì \( M \) là trung điểm của \( CD \), ta có: \[ CD = 2 \times MH = 2 \times \sqrt{R^2 - OM^2} = 2 \times 8 = 16 \, \text{cm} \] b) Tìm bán kính của đường tròn biết \( CD = 24 \, \text{cm} \) và \( MH = 6 \, \text{cm} \). 1. Xác định các yếu tố liên quan: - \( CD = 24 \, \text{cm} \), \( MH = 6 \, \text{cm} \). 2. Sử dụng định lý về đường kính và dây cung: - Vì \( M \) là trung điểm của \( CD \), ta có: \[ CD = 2 \times MH = 24 \, \text{cm} \Rightarrow MH = \frac{CD}{2} = 12 \, \text{cm} \] 3. Tính bán kính \( R \): - Sử dụng công thức: \[ MH = \sqrt{R^2 - OM^2} \] - Thay \( MH = 6 \, \text{cm} \) vào công thức: \[ 6 = \sqrt{R^2 - OM^2} \] - Giải phương trình: \[ R^2 - OM^2 = 36 \] - Vì \( OM = \frac{CD}{2} = 12 \, \text{cm} \), ta có: \[ R^2 - 12^2 = 36 \Rightarrow R^2 = 36 + 144 = 180 \] - Do đó, bán kính \( R \) là: \[ R = \sqrt{180} = 6\sqrt{5} \, \text{cm} \] Vậy, bán kính của đường tròn là \( 6\sqrt{5} \, \text{cm} \). Câu 32: Để hai đường tròn $(O;20~cm)$ và $(O^\prime;10~cm)$ cắt nhau, khoảng cách giữa hai tâm $d$ phải thỏa mãn điều kiện: 1. Tổng bán kính lớn hơn khoảng cách giữa hai tâm: $20 + 10 > d$. 2. Hiệu bán kính nhỏ hơn khoảng cách giữa hai tâm: $20 - 10 < d$. Từ điều kiện 1, ta có: $d < 30$. Từ điều kiện 2, ta có: $d > 10$. Vậy $d$ phải thỏa mãn: $10 < d < 30$. Các giá trị nguyên của $d$ là: 11, 12, 13, ..., 29. Số giá trị nguyên của $d$ là: $29 - 11 + 1 = 19$. Vậy có 19 giá trị nguyên của $d$ để hai đường tròn cắt nhau. Câu 33: Để tính số đo của góc \(\widehat{AMB}\), ta thực hiện các bước sau: 1. Nhận xét về tam giác và tính chất tiếp tuyến: - MA và MB là hai tiếp tuyến từ điểm M đến đường tròn \((O; 2~cm)\), do đó MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau). - Góc \(\widehat{OAM}\) và \(\widehat{OBM}\) đều là góc vuông vì tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm. 2. Xét tam giác OMA và OMB: - Trong tam giác OMA, ta có \(OA = 2~cm\) (bán kính đường tròn) và \(OM = 8~cm\). - Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông OMA: \[ MA^2 = OM^2 - OA^2 = 8^2 - 2^2 = 64 - 4 = 60 \] \[ MA = \sqrt{60} = 2\sqrt{15}~cm \] 3. Xét tam giác AMB: - Tam giác AMB là tam giác cân tại M vì MA = MB. - Để tính góc \(\widehat{AMB}\), ta cần tính góc \(\widehat{AOB}\). 4. Tính góc \(\widehat{AOB}\): - Tam giác OAB là tam giác cân tại O với \(OA = OB = 2~cm\). - Sử dụng định lý cosin trong tam giác OMA: \[ \cos(\widehat{AOM}) = \frac{OA}{OM} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \] - Do đó, góc \(\widehat{AOM} = \arccos\left(\frac{1}{4}\right)\). 5. Tính góc \(\widehat{AMB}\): - Góc \(\widehat{AOB} = 2 \times \widehat{AOM}\) (do tam giác OAB cân tại O). - Góc \(\widehat{AMB} = 180^\circ - \widehat{AOB}\). 6. Kết luận: - Số đo góc \(\widehat{AMB}\) là \(180^\circ - 2 \times \arccos\left(\frac{1}{4}\right)\). Vậy số đo của góc \(\widehat{AMB}\) là \(180^\circ - 2 \times \arccos\left(\frac{1}{4}\right)\).