Câu $\rm 1.$

Câu 1: Để giải bài toán này, ta cần tìm diện tích của các hình vuông được tạo ra theo quy trình đã cho và sau đó tính tổng các diện tích này. 1. Diện tích hình vuông đầu tiên $S_1$: Hình vuông ABCD có cạnh bằng 4, do đó diện tích $S_1$ là: \[ S_1 = 4^2 = 16 \] 2. Diện tích hình vuông thứ hai $S_2$: Các điểm $A_1, B_1, C_1, D_1$ là trung điểm của các cạnh của hình vuông ABCD. Do đó, hình vuông $A_1B_1C_1D_1$ có cạnh bằng $\frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ (vì đường chéo của hình vuông nhỏ là cạnh của hình vuông lớn chia cho $\sqrt{2}$). Diện tích $S_2$ là: \[ S_2 = \left(2\sqrt{2}\right)^2 = 8 \] 3. Diện tích hình vuông thứ ba $S_3$: Tương tự, hình vuông $A_2B_2C_2D_2$ có cạnh bằng $\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2$. Diện tích $S_3$ là: \[ S_3 = 2^2 = 4 \] 4. Diện tích hình vuông thứ tư $S_4$: Hình vuông $A_3B_3C_3D_3$ có cạnh bằng $\frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$. Diện tích $S_4$ là: \[ S_4 = \left(\sqrt{2}\right)^2 = 2 \] 5. Quy luật chung: Ta nhận thấy diện tích của các hình vuông tạo thành một cấp số nhân với số hạng đầu $S_1 = 16$ và công bội $q = \frac{1}{2}$. 6. Tính tổng $S = S_1 + S_2 + S_3 + \ldots + S_{100}$: Tổng của cấp số nhân với $n$ số hạng đầu tiên được tính theo công thức: \[ S = S_1 \frac{1 - q^n}{1 - q} \] Với $S_1 = 16$, $q = \frac{1}{2}$ và $n = 100$, ta có: \[ S = 16 \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{100}}{1 - \frac{1}{2}} = 16 \times 2 \left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{100}\right) \] \[ S = 32 \left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{100}\right) \] Vì $\left(\frac{1}{2}\right)^{100}$ rất nhỏ, gần như bằng 0, nên: \[ S \approx 32 \] Vậy tổng diện tích $S = S_1 + S_2 + S_3 + \ldots + S_{100}$ xấp xỉ bằng 32.