độ dài ban đêm (tính bằng giờ) tại 1 địa phương trong năm được xấp xỉ bởi hàm số: y=3cos[pi/180(x+91) +54/5, với 1<= x <= 365. Hỏi ngày nào trong năm độ dài ban đêm của địa phương đó là ngắn nhất

Để tìm ngày trong năm mà độ dài ban đêm ngắn nhất, chúng ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = 3\cos\left(\frac{\pi}{180}(x + 91)\right) + \frac{54}{5} \). Bước 1: Xác định giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y \). Hàm số \( y = 3\cos\left(\frac{\pi}{180}(x + 91)\right) + \frac{54}{5} \) có dạng \( A\cos(B(x - C)) + D \), trong đó: - \( A = 3 \) - \( B = \frac{\pi}{180} \) - \( C = -91 \) - \( D = \frac{54}{5} \) Giá trị nhỏ nhất của hàm số \( \cos \) là -1. Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( y \) sẽ xảy ra khi \( \cos\left(\frac{\pi}{180}(x + 91)\right) = -1 \). Bước 2: Tìm \( x \) sao cho \( \cos\left(\frac{\pi}{180}(x + 91)\right) = -1 \). Ta biết rằng \( \cos(\theta) = -1 \) khi \( \theta = \pi + 2k\pi \) (với \( k \) là số nguyên). Do đó: \[ \frac{\pi}{180}(x + 91) = \pi + 2k\pi \] Chia cả hai vế cho \( \pi \): \[ \frac{x + 91}{180} = 1 + 2k \] Nhân cả hai vế với 180: \[ x + 91 = 180(1 + 2k) \] \[ x + 91 = 180 + 360k \] \[ x = 89 + 360k \] Vì \( 1 \leq x \leq 365 \), ta chọn \( k = 0 \): \[ x = 89 \] Bước 3: Kiểm tra giá trị \( x = 89 \). Thay \( x = 89 \) vào hàm số: \[ y = 3\cos\left(\frac{\pi}{180}(89 + 91)\right) + \frac{54}{5} \] \[ y = 3\cos\left(\frac{\pi}{180} \cdot 180\right) + \frac{54}{5} \] \[ y = 3\cos(\pi) + \frac{54}{5} \] \[ y = 3(-1) + \frac{54}{5} \] \[ y = -3 + \frac{54}{5} \] \[ y = -3 + 10.8 \] \[ y = 7.8 \] Vậy, ngày 89 trong năm (ngày 8 tháng 4) là ngày mà độ dài ban đêm ngắn nhất.