Câu $\rm 1;2$. Câu 1: Biết $\cos\alpha=\frac45$ và $-\frac\pi2

Question

Câu $\rm 1;2$. Câu 1: Biết $\cos\alpha=\frac45$ và $-\frac\pi2<\alpha<0.$ Khi đó giá trị sin&amp; bằng bao nhiêu?,Câu 2: Hội Lim (tỉnh Bắc Ninh) được tổ chức vào mùa xuân thường có trò chơi đánh đu.,Khi người chơi nhún đều, cây đu sẽ đưa người chơi dao động quanh vị trí cân bằng như hình,vẽ.,Nghiên cứu trò chơi này, người ta thấy khoảng cách h(m) từ vị trí người chơi đến vị trí cân,bằng được biểu diễn qua thời gian t (s) (với $t\geq0)$ bởi hệ thức $h=|d|$ với $d=3\cos[\frac\pi3(t-1)]$,, trong đó ta quy ước $d>0$ khi vị trí cân bằng ở phía sau lưng người chơi và $d<0$ trong,trường hợp ngược lại. Hãy cho biết trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, người chơi đó đi,qua vị trí cân bằng bao nhiêu lần?

Accepted Answer

Câu 1:
Do $-\frac{\pi}{2} < \alpha < 0$ nên $\sin \alpha < 0$. Ta có:
$$
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \implies \sin^2 \alpha = 1 - \left( \frac{4}{5} \right)^2 = \frac{9}{25}
$$
Suy ra $\sin \alpha = -\frac{3}{5}$.

Câu 2:
Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm các thời điểm mà người chơi đi qua vị trí cân bằng, tức là khi $ h = 0 $.

Bước 1: Xác định điều kiện để $ h = 0 $
$$ h = |d| = 0 $$
$$ d = 3 \cos \left( \frac{\pi}{3} (t - 1) \right) = 0 $$

Bước 2: Giải phương trình $ \cos \left( \frac{\pi}{3} (t - 1) \right) = 0 $
$$ \frac{\pi}{3} (t - 1) = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \text{(với $ k $ là số nguyên)} $$
$$ t - 1 = \frac{3}{2} + 3k $$
$$ t = \frac{5}{2} + 3k $$

Bước 3: Tìm các giá trị của $ t $ trong khoảng từ 0 đến 6 giây
$$ 0 \leq t \leq 6 $$
$$ 0 \leq \frac{5}{2} + 3k \leq 6 $$

Giải bất phương trình:
$$ 0 \leq \frac{5}{2} + 3k $$
$$ -\frac{5}{2} \leq 3k $$
$$ -\frac{5}{6} \leq k $$

$$ \frac{5}{2} + 3k \leq 6 $$
$$ 3k \leq 6 - \frac{5}{2} $$
$$ 3k \leq \frac{7}{2} $$
$$ k \leq \frac{7}{6} $$

Do $ k $ là số nguyên, nên $ k $ có thể nhận các giá trị $ k = 0, 1 $.

Bước 4: Tính các giá trị của $ t $ tương ứng với $ k = 0 $ và $ k = 1 $
$$ k = 0 \Rightarrow t = \frac{5}{2} = 2.5 $$
$$ k = 1 \Rightarrow t = \frac{5}{2} + 3 = 5.5 $$

Bước 5: Kiểm tra các giá trị $ t $ trong khoảng từ 0 đến 6 giây
Các giá trị $ t $ thỏa mãn là $ t = 2.5 $ và $ t = 5.5 $.

Vậy, trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, người chơi đi qua vị trí cân bằng 2 lần.

Đáp án: Người chơi đi qua vị trí cân bằng 2 lần.