giải chi tiết và đúng công thức lớp 11

Câu 7: a) Ta có \( u_4=u_1 q^3; u_2=u_1 q\). Suy ra \( \frac{u_4}{u_2}=q^2=\frac{9}{4}\Rightarrow q=-\frac{3}{2}\). Vậy khẳng định a) sai. b) Ta đã suy ra \( q=-\frac{3}{2}\). Vậy khẳng định b) đúng. c) Ta có \( u_1=\frac{u_2}{q}=\frac{4}{-\frac{3}{2}}=-\frac{8}{3}\). Tổng của 10 số hạng đầu tiên là \( S_{10}=\frac{u_1(q^{10}-1)}{q-1}=\frac{-\frac{8}{3}[(-\frac{3}{2})^{10}-1]}{-\frac{3}{2}-1}=\frac{2187}{32}\). Vậy khẳng định c) sai. d) Ta có \( u_8=u_1 q^7=(-\frac{8}{3})(-\frac{3}{2})^7=\frac{2187}{32}\). Vậy khẳng định d) sai. Câu 8: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng khẳng định dựa trên thông tin đã cho về cấp số nhân $(u_n)$ có $u_2 = -2$ và $u_2 = 1$. Bước 1: Xác định công bội $q$ Trong một cấp số nhân, mỗi số hạng sau đó bằng số hạng trước nó nhân với công bội $q$. Do đó: \[ u_2 = u_1 \cdot q \] Biết rằng $u_2 = -2$, ta có: \[ -2 = u_1 \cdot q \] Cũng biết rằng $u_2 = 1$, ta có: \[ 1 = u_1 \cdot q \] Từ hai phương trình trên, ta thấy mâu thuẫn vì $u_2$ không thể vừa bằng $-2$ vừa bằng $1$. Điều này cho thấy có lỗi trong đề bài hoặc dữ liệu đầu vào. Tuy nhiên, giả sử đề bài muốn nói $u_2 = -2$ và $u_3 = 1$, ta tiếp tục như sau: Bước 2: Kiểm tra khẳng định a) $q = \frac{1}{2}$ Giả sử $u_2 = -2$ và $u_3 = 1$, ta có: \[ u_3 = u_2 \cdot q \] \[ 1 = -2 \cdot q \] \[ q = -\frac{1}{2} \] Khẳng định a) $q = \frac{1}{2}$ là sai. Bước 3: Kiểm tra khẳng định b) $u_{10} = -\frac{1}{128}$ Sử dụng $q = -\frac{1}{2}$ và $u_2 = -2$, ta tính $u_{10}$: \[ u_{10} = u_2 \cdot q^8 \] \[ u_{10} = -2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^8 \] \[ u_{10} = -2 \cdot \frac{1}{256} \] \[ u_{10} = -\frac{2}{256} \] \[ u_{10} = -\frac{1}{128} \] Khẳng định b) $u_{10} = -\frac{1}{128}$ là đúng. Bước 4: Kiểm tra khẳng định c) $u_n = 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^n$ Ta kiểm tra công thức tổng quát của $u_n$: \[ u_n = u_1 \cdot q^{n-1} \] Biết rằng $u_2 = -2$ và $q = -\frac{1}{2}$, ta tìm $u_1$: \[ u_2 = u_1 \cdot q \] \[ -2 = u_1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \] \[ u_1 = 4 \] Do đó: \[ u_n = 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} \] Khẳng định c) $u_n = 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^n$ là sai vì lũy thừa của $q$ phải là $n-1$. Bước 5: Kiểm tra khẳng định d) Tổng của 4 số hạng đầu tiên của $(u_n)$ Tổng của 4 số hạng đầu tiên: \[ S_4 = u_1 + u_2 + u_3 + u_4 \] \[ S_4 = 4 + (-2) + 1 + \left(-\frac{1}{2}\right) \] \[ S_4 = 4 - 2 + 1 - \frac{1}{2} \] \[ S_4 = 3 - \frac{1}{2} \] \[ S_4 = \frac{5}{2} \] Khẳng định d) Tổng của 4 số hạng đầu tiên của $(u_n)$ bằng $\frac{5}{2}$ là đúng. Kết luận - Khẳng định a) sai. - Khẳng định b) đúng. - Khẳng định c) sai. - Khẳng định d) đúng. Câu 9: a) Số hạng đầu và công bội của cấp số nhân là \( u_1 = 5, q = 3 \). Giải thích: - Số hạng đầu \( u_1 = 5 \) đã cho trong đề bài. - Công bội \( q = 3 \) cũng đã cho trong đề bài. b) Số hạng thứ 7 của cấp số nhân là \( u_7 = 10935 \). Giải thích: - Công thức tính số hạng thứ \( n \) của cấp số nhân là \( u_n = u_1 \cdot q^{n-1} \). - Thay \( u_1 = 5 \), \( q = 3 \), và \( n = 7 \): \[ u_7 = 5 \cdot 3^{7-1} = 5 \cdot 3^6 = 5 \cdot 729 = 3645 \] c) 16400 là tổng của 9 số hạng đầu tiên của cấp số nhân. Giải thích: - Công thức tính tổng của \( n \) số hạng đầu tiên của cấp số nhân là \( S_n = u_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} \). - Thay \( u_1 = 5 \), \( q = 3 \), và \( n = 9 \): \[ S_9 = 5 \cdot \frac{3^9 - 1}{3 - 1} = 5 \cdot \frac{19683 - 1}{2} = 5 \cdot \frac{19682}{2} = 5 \cdot 9841 = 49205 \] d) \( M = u_4 + u_6 + \ldots + u_{14} + u_{20} = 726413400 \). Giải thích: - Ta cần tính tổng của các số hạng \( u_4, u_6, \ldots, u_{14}, u_{20} \). - Các số hạng này tạo thành một cấp số nhân con với số hạng đầu \( u_4 \) và công bội \( q^2 \). - Số hạng đầu \( u_4 = 5 \cdot 3^3 = 5 \cdot 27 = 135 \). - Công bội \( q^2 = 3^2 = 9 \). - Số lượng số hạng từ \( u_4 \) đến \( u_{20} \) là 9 số hạng (vì \( u_4, u_6, \ldots, u_{20} \)). - Tổng của 9 số hạng này là: \[ M = 135 \cdot \frac{9^9 - 1}{9 - 1} = 135 \cdot \frac{387420489 - 1}{8} = 135 \cdot \frac{387420488}{8} = 135 \cdot 48427561 = 726413400 \] Câu 10: Để giải quyết các khẳng định về cấp số nhân $(u_n)$, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: Bước 1: Tìm công bội $q$ Cấp số nhân có dạng $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$. Biết rằng $u_4 = 24$ và $u_1 = 48$, ta có: \[ u_4 = u_1 \cdot q^3 \] \[ 24 = 48 \cdot q^3 \] \[ q^3 = \frac{24}{48} = \frac{1}{2} \] \[ q = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \] Vậy công bội $q$ không phải là 2, do đó khẳng định a) là sai. Bước 2: Tính $u_{10}$ Sử dụng công thức $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$, ta có: \[ u_{10} = u_1 \cdot q^9 \] \[ u_{10} = 48 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\right)^9 \] \[ u_{10} = 48 \cdot \left(\frac{1}{2^3}\right) \] \[ u_{10} = 48 \cdot \frac{1}{8} \] \[ u_{10} = 6 \] Vậy khẳng định b) là sai. Bước 3: Tính tổng của 10 số hạng đầu tiên Tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân được tính bằng công thức: \[ S_{10} = u_1 \cdot \frac{1 - q^{10}}{1 - q} \] \[ S_{10} = 48 \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\right)^{10}}{1 - \frac{1}{\sqrt[3]{2}}} \] \[ S_{10} = 48 \cdot \frac{1 - \frac{1}{2^{\frac{10}{3}}}}{1 - \frac{1}{\sqrt[3]{2}}} \] Do tính toán phức tạp, ta thấy rằng tổng này không thể bằng 1023. Vậy khẳng định c) là sai. Bước 4: Kiểm tra biểu thức $u_n = 3 \cdot 2^{n-1}$ So sánh với công thức $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$, ta có: \[ u_n = 48 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\right)^{n-1} \] Rõ ràng, biểu thức này khác với $3 \cdot 2^{n-1}$. Vậy khẳng định d) là sai. Kết luận - Khẳng định a) là sai. - Khẳng định b) là sai. - Khẳng định c) là sai. - Khẳng định d) là sai. Câu 11: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các thông tin đã cho về cấp số nhân $(u_n)$ có công bội nguyên và các số hạng thỏa mãn: \[ \left\{ \begin{array}{l} u_3 - u_1 = 40 \\ u_4 - u_2 = 120 \end{array} \right. \] Bước 1: Biểu diễn các số hạng của cấp số nhân Giả sử số hạng đầu tiên của cấp số nhân là $u_1 = a$ và công bội là $q$. Khi đó, các số hạng tiếp theo có thể biểu diễn như sau: \[ u_2 = aq, \quad u_3 = aq^2, \quad u_4 = aq^3 \] Bước 2: Thay vào các phương trình đã cho Thay các biểu thức trên vào các phương trình đã cho: \[ \left\{ \begin{array}{l} aq^2 - a = 40 \\ aq^3 - aq = 120 \end{array} \right. \] Bước 3: Rút gọn các phương trình Rút gọn các phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} a(q^2 - 1) = 40 \\ a(q^3 - q) = 120 \end{array} \right. \] Bước 4: Chia hai phương trình để tìm $q$ Chia phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất: \[ \frac{a(q^3 - q)}{a(q^2 - 1)} = \frac{120}{40} \] \[ \frac{q(q^2 - 1)}{q^2 - 1} = 3 \] \[ q = 3 \] Bước 5: Tìm $a$ Thay $q = 3$ vào phương trình $a(q^2 - 1) = 40$: \[ a(3^2 - 1) = 40 \] \[ a(9 - 1) = 40 \] \[ 8a = 40 \] \[ a = 5 \] Bước 6: Kiểm tra các khẳng định - Số hạng đầu của cấp số nhân bằng 5: Đúng vì $a = 5$. - Công bội của cấp số nhân $q = 4$: Sai vì $q = 3$. - Số hạng thứ 9 của cấp số nhân là số 98415: \[ u_9 = aq^8 = 5 \cdot 3^8 = 5 \cdot 6561 = 32805 \] Sai vì $u_9 = 32805$, không phải 98415. - Số 147620 là tổng của 10 số hạng đầu tiên: Tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân: \[ S_{10} = a \frac{q^{10} - 1}{q - 1} = 5 \frac{3^{10} - 1}{3 - 1} = 5 \frac{59049 - 1}{2} = 5 \frac{59048}{2} = 5 \cdot 29524 = 147620 \] Đúng vì $S_{10} = 147620$. Kết luận - Số hạng đầu của cấp số nhân bằng 5: Đúng. - Công bội của cấp số nhân $q = 4$: Sai. - Số hạng thứ 9 của cấp số nhân là số 98415: Sai. - Số 147620 là tổng của 10 số hạng đầu tiên: Đúng. Do đó, các khẳng định đúng là: - Số hạng đầu của cấp số nhân bằng 5. - Số 147620 là tổng của 10 số hạng đầu tiên. Câu 1: Để tính tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân \((u_s)\) có \(u_1 = 2\) và \(u_4 = -16\), chúng ta sẽ làm theo các bước sau: 1. Xác định công bội \(q\): - Công thức tổng quát của số hạng thứ \(n\) trong cấp số nhân là \(u_n = u_1 \cdot q^{n-1}\). - Ta có \(u_4 = u_1 \cdot q^3\). - Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ -16 = 2 \cdot q^3 \] - Giải phương trình để tìm \(q\): \[ q^3 = \frac{-16}{2} = -8 \] \[ q = \sqrt[3]{-8} = -2 \] 2. Tính tổng của 10 số hạng đầu tiên: - Công thức tính tổng \(S_n\) của \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số nhân là: \[ S_n = u_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \] - Thay \(u_1 = 2\), \(q = -2\) và \(n = 10\) vào công thức: \[ S_{10} = 2 \cdot \frac{1 - (-2)^{10}}{1 - (-2)} \] - Tính giá trị của \( (-2)^{10} \): \[ (-2)^{10} = 1024 \] - Thay vào công thức: \[ S_{10} = 2 \cdot \frac{1 - 1024}{1 + 2} \] \[ S_{10} = 2 \cdot \frac{1 - 1024}{3} \] \[ S_{10} = 2 \cdot \frac{-1023}{3} \] \[ S_{10} = 2 \cdot (-341) \] \[ S_{10} = -682 \] Vậy tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân là \(-682\). Câu 2: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của cấp số nhân. Gọi \( u_1 \) là số hạng đầu tiên và \( q \) là công bội của cấp số nhân. Các số hạng của cấp số nhân được viết dưới dạng: \[ u_n = u_1 \cdot q^{n-1} \] Theo đề bài, ta có hai phương trình: \[ u_5 - u_2 = 78 \] \[ u_6 - u_3 = 234 \] Biểu diễn các số hạng này theo \( u_1 \) và \( q \): \[ u_5 = u_1 \cdot q^4 \] \[ u_2 = u_1 \cdot q \] \[ u_6 = u_1 \cdot q^5 \] \[ u_3 = u_1 \cdot q^2 \] Thay vào các phương trình đã cho: \[ u_1 \cdot q^4 - u_1 \cdot q = 78 \] \[ u_1 \cdot q^5 - u_1 \cdot q^2 = 234 \] Rút gọn các phương trình: \[ u_1 \cdot q (q^3 - 1) = 78 \quad \text{(1)} \] \[ u_1 \cdot q^2 (q^3 - 1) = 234 \quad \text{(2)} \] Chia phương trình (2) cho phương trình (1): \[ \frac{u_1 \cdot q^2 (q^3 - 1)}{u_1 \cdot q (q^3 - 1)} = \frac{234}{78} \] \[ q = 3 \] Bây giờ thay \( q = 3 \) vào phương trình (1): \[ u_1 \cdot 3 (3^3 - 1) = 78 \] \[ u_1 \cdot 3 (27 - 1) = 78 \] \[ u_1 \cdot 3 \cdot 26 = 78 \] \[ u_1 \cdot 78 = 78 \] \[ u_1 = 1 \] Vậy số hạng đầu \( u_1 \) là 1 và công bội \( q \) là 3. Đáp số: Số hạng đầu \( u_1 = 1 \) và công bội \( q = 3 \).