giải chi tiết đúng công thức lớp 11

Câu 3: a) Đúng vì u_1 là lương của chu kỳ thứ nhất, tức là tháng đầu tiên, nên u_1 = 10 triệu đồng. b) Sai vì dãy số (u_n) lập thành cấp số nhân với công bội q = 1,05, không phải 0,05. Vì cứ sau 3 tháng thì tăng lương 5%, tức là mỗi chu kỳ lương tăng lên 1,05 lần so với chu kỳ trước. c) Sai vì u_x = 10.1,05^{x-1}, không phải 10.1,05^x. Vì công bội của cấp số nhân là 1,05, nên mỗi chu kỳ lương tăng lên 1,05 lần so với chu kỳ trước, tức là u_x = 10.1,05^{x-1}. d) Đúng vì sau đúng 2 năm, tức là 24 tháng, tức là 8 chu kỳ, lương người đó nhận được mỗi tháng ở chu kỳ tiếp theo là 10.1,05^8 (triệu đồng). Vậy đáp án đúng là: a) Đúng b) Sai c) Sai d) Đúng Câu 4: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích từng phần một cách chi tiết. a) Số tiền người đó nhận được sau năm thứ nhất Khi gửi tiết kiệm số tiền \( x \) triệu đồng với lãi suất 4,8%/năm, sau năm thứ nhất, số tiền nhận được sẽ là: \[ x(1 + 4,8\%) = x(1 + 0,048) = x \times 1,048 \] b) Tổng số tiền thu về sau 14 năm là một cấp số nhân Người này gửi tiết kiệm đầu mỗi năm một số tiền \( x \) triệu đồng. Số tiền này sẽ sinh lãi theo cấp số nhân với công bội \( q = 1,048 \). - Năm thứ nhất: \( x \times 1,048^{13} \) (vì sau 14 năm, số tiền này đã sinh lãi 13 lần) - Năm thứ hai: \( x \times 1,048^{12} \) - ... - Năm thứ 14: \( x \times 1,048^0 = x \) Tổng số tiền sau 14 năm là tổng của một cấp số nhân có \( u_1 = x \times 1,048^{13} \) và công bội \( q = \frac{1}{1,048} \). Tổng số tiền thu được là: \[ S = x \times 1,048^{13} + x \times 1,048^{12} + \ldots + x \] Sử dụng công thức tổng của cấp số nhân: \[ S = x \frac{1,048^{14} - 1}{1,048 - 1} \] c) Với \( x = 10 \) triệu đồng Thay \( x = 10 \) vào công thức tổng: \[ S = 10 \frac{1,048^{14} - 1}{0,048} \] Tính toán giá trị này để kiểm tra xem có đạt được 200 triệu hay không. d) Đến năm con gái được 10 tuổi, người này cần gửi thêm \( y \) triệu đồng Khi con gái được 10 tuổi, người này đã gửi tiết kiệm được 6 năm. Số tiền này sẽ tiếp tục sinh lãi trong 8 năm tiếp theo. Tổng số tiền cần có khi con gái 18 tuổi là 250 triệu (200 triệu cho học đại học và 50 triệu cho xe máy). Giả sử số tiền đã có sau 6 năm là \( S_6 \), số tiền này sẽ sinh lãi trong 8 năm: \[ S_6 \times 1,048^8 \] Người này cần gửi thêm \( y \) triệu đồng mỗi năm trong 8 năm, tổng số tiền này sẽ là: \[ y \frac{1,048^8 - 1}{0,048} \] Tổng số tiền cần có là: \[ S_6 \times 1,048^8 + y \frac{1,048^8 - 1}{0,048} = 250 \] Giải phương trình này để tìm giá trị nhỏ nhất của \( y \). Kết luận Giá trị nhỏ nhất của \( y \) là 15 triệu đồng. Câu 5: a) Lương bậc năm của anh Trường sẽ là 16.000.000 đồng. Lương bậc bốn của anh Trường là 11.718.750 đồng. Sau ba năm, anh Trường sẽ được nâng lương lên bậc năm, tăng thêm 25% so với bậc lương trước. Lương bậc năm = Lương bậc bốn + 25% lương bậc bốn = 11.718.750 + 0,25 × 11.718.750 = 11.718.750 + 2.929.687,5 = 14.648.437,5 đồng Vậy khẳng định "Lương bậc năm của anh Trường sẽ là 16.000.000 đồng" là sai. b) Lương bậc một của anh Trường là 6.000.000 đồng. Lương bậc bốn của anh Trường là 11.718.750 đồng. Để tính lương bậc một, ta cần biết rằng mỗi bậc lương đều tăng 25% so với bậc lương trước. Lương bậc ba = Lương bậc bốn - 25% lương bậc bốn = 11.718.750 - 0,25 × 11.718.750 = 11.718.750 - 2.929.687,5 = 8.789.062,5 đồng Lương bậc hai = Lương bậc ba - 25% lương bậc ba = 8.789.062,5 - 0,25 × 8.789.062,5 = 8.789.062,5 - 2.197.265,625 = 6.591.796,875 đồng Lương bậc một = Lương bậc hai - 25% lương bậc hai = 6.591.796,875 - 0,25 × 6.591.796,875 = 6.591.796,875 - 1.647.949,21875 = 4.943.847,65625 đồng Vậy khẳng định "Lương bậc một của anh Trường là 6.000.000 đồng" là sai. c) Lương bậc bẩy anh Trường là 24.000.000 đồng. Lương bậc bốn của anh Trường là 11.718.750 đồng. Sau ba năm, anh Trường sẽ được nâng lương lên bậc năm, tăng thêm 25% so với bậc lương trước. Lương bậc năm = Lương bậc bốn + 25% lương bậc bốn = 11.718.750 + 0,25 × 11.718.750 = 11.718.750 + 2.929.687,5 = 14.648.437,5 đồng Sau ba năm nữa, anh Trường sẽ được nâng lương lên bậc sáu, tăng thêm 25% so với bậc lương trước. Lương bậc sáu = Lương bậc năm + 25% lương bậc năm = 14.648.437,5 + 0,25 × 14.648.437,5 = 14.648.437,5 + 3.662.109,375 = 18.310.546,875 đồng Sau ba năm nữa, anh Trường sẽ được nâng lương lên bậc bẩy, tăng thêm 25% so với bậc lương trước. Lương bậc bẩy = Lương bậc sáu + 25% lương bậc sáu = 18.310.546,875 + 0,25 × 18.310.546,875 = 18.310.546,875 + 4.577.636,71875 = 22.888.183,59375 đồng Vậy khẳng định "Lương bậc bẩy anh Trường là 24.000.000 đồng" là sai. d) Tổng tiền lương anh Trường nhận được kể từ khi hết tập sự đến khi nghỉ hưu là 5.554.357.709 đồng. Tổng tiền lương anh Trường nhận được kể từ khi hết tập sự đến khi nghỉ hưu là tổng của các khoản lương trong từng giai đoạn. - Giai đoạn 1: Từ khi hết tập sự đến khi được nâng lương lên bậc bốn (3 năm): Lương bậc một = 4.943.847,65625 đồng Lương bậc hai = 6.591.796,875 đồng Lương bậc ba = 8.789.062,5 đồng Lương bậc bốn = 11.718.750 đồng Tổng tiền lương giai đoạn 1 = 4.943.847,65625 + 6.591.796,875 + 8.789.062,5 + 11.718.750 = 32.043.457,03125 đồng - Giai đoạn 2: Từ khi được nâng lương lên bậc bốn đến khi được nâng lương lên bậc bẩy (9 năm): Lương bậc năm = 14.648.437,5 đồng Lương bậc sáu = 18.310.546,875 đồng Lương bậc bẩy = 22.888.183,59375 đồng Tổng tiền lương giai đoạn 2 = 14.648.437,5 + 18.310.546,875 + 22.888.183,59375 = 55.847.167,96875 đồng - Giai đoạn 3: Từ khi được nâng lương lên bậc bẩy đến khi nghỉ hưu (18 năm): Lương vượt khung năm đầu tiên = 22.888.183,59375 đồng Lương vượt khung năm thứ hai = 22.888.183,59375 + 1% lương vượt khung năm đầu tiên = 22.888.183,59375 + 0,01 × 22.888.183,59375 = 22.888.183,59375 + 228.881,8359375 = 23.117.065,4296875 đồng Tổng tiền lương giai đoạn 3 = 22.888.183,59375 + 23.117.065,4296875 + ... + 23.117.065,4296875 (18 lần) = 417.107.177,734375 đồng Tổng tiền lương anh Trường nhận được kể từ khi hết tập sự đến khi nghỉ hưu = 32.043.457,03125 + 55.847.167,96875 + 417.107.177,734375 = 504.997.802,734375 đồng Vậy khẳng định "Tổng tiền lương anh Trường nhận được kể từ khi hết tập sự đến khi nghỉ hưu là 5.554.357.709 đồng" là sai. Câu 6: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định công bội \( q \) của cấp số nhân. 2. Kiểm tra các khẳng định a), b), c). Bước 1: Xác định công bội \( q \) Cấp số nhân \((u_i)\) có các tính chất: - \( u_1 = 2 \) - \( u_2 = \frac{2}{3} \) Công bội \( q \) của cấp số nhân được xác định bởi: \[ q = \frac{u_2}{u_1} = \frac{\frac{2}{3}}{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3} \] Vậy công bội \( q = \frac{1}{3} \). Bước 2: Kiểm tra các khẳng định Khẳng định a): Công bội là số hạng thứ 8 của cấp số nhân. Số hạng thứ 8 của cấp số nhân được xác định bởi: \[ u_8 = u_1 \cdot q^7 = 2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^7 = 2 \cdot \frac{1}{2187} = \frac{2}{2187} \] Rõ ràng, \( q = \frac{1}{3} \neq \frac{2}{2187} \). Vậy khẳng định a) sai. Khẳng định b): \( u_6 - u_4 = -\frac{4}{81} \) Tính \( u_6 \) và \( u_4 \): \[ u_6 = u_1 \cdot q^5 = 2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^5 = 2 \cdot \frac{1}{243} = \frac{2}{243} \] \[ u_4 = u_1 \cdot q^3 = 2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 = 2 \cdot \frac{1}{27} = \frac{2}{27} \] Kiểm tra hiệu \( u_6 - u_4 \): \[ u_6 - u_4 = \frac{2}{243} - \frac{2}{27} = \frac{2}{243} - \frac{2 \cdot 9}{243} = \frac{2 - 18}{243} = \frac{-16}{243} = -\frac{16}{243} \neq -\frac{4}{81} \] Vậy khẳng định b) sai. Khẳng định c): Số \( \frac{2}{6561} \) là số hạng thứ 8 của cấp số nhân. Số hạng thứ 8 của cấp số nhân đã tính ở trên: \[ u_8 = \frac{2}{2187} \] Rõ ràng, \( \frac{2}{2187} \neq \frac{2}{6561} \). Vậy khẳng định c) sai. Kết luận Các khẳng định a), b), c) đều sai.