Giúp mình với!

Câu 11: Để giải bài toán này, ta cần sử dụng một số tính chất của tam giác vuông và tam giác vuông cân. Cho tam giác vuông \( \triangle ABC \) với \( \widehat{A} = 90^\circ \) và \( AH \perp BC \) tại \( H \). Ta có \( BH = 3 \) và \( HC = 1 \). 1. Tính độ dài \( BC \): \[ BC = BH + HC = 3 + 1 = 4 \] 2. Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \( \triangle ABH \) và \( \triangle AHC \): - Trong \( \triangle ABH \), ta có: \[ AB^2 = AH^2 + BH^2 \] - Trong \( \triangle AHC \), ta có: \[ AC^2 = AH^2 + HC^2 \] 3. Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: - Ta có \( AB^2 = BH \cdot BC \) và \( AC^2 = HC \cdot BC \). - Tính \( AB^2 \): \[ AB^2 = BH \cdot BC = 3 \cdot 4 = 12 \] - Tính \( AC^2 \): \[ AC^2 = HC \cdot BC = 1 \cdot 4 = 4 \] 4. Tính \( AB \) và \( AC \): - \( AB = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \) - \( AC = \sqrt{4} = 2 \) 5. Sử dụng định lý sin trong tam giác vuông \( \triangle ABC \): - Ta có: \[ \sin \widehat{B} = \frac{AC}{AB} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \] 6. Tìm góc \( \widehat{B} \): - Ta biết rằng \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \), nhưng ta cần tìm góc có sin bằng \( \frac{1}{\sqrt{3}} \). - Thực tế, \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \) và \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \), nhưng không có góc nào trong các lựa chọn có sin bằng \( \frac{1}{\sqrt{3}} \). Do đó, có thể có một nhầm lẫn trong việc tính toán hoặc trong các lựa chọn. Tuy nhiên, dựa trên các tính toán trên, không có góc nào trong các lựa chọn có sin bằng \( \frac{1}{\sqrt{3}} \). Vì vậy, không có lựa chọn nào là đúng dựa trên các tính toán đã thực hiện. Câu 12: Để tính chiều cao \( AH \) trong tam giác vuông \( \triangle AHB \), ta sử dụng các dữ kiện đã cho: 1. Tam giác \( \triangle AHB \) là tam giác vuông tại \( H \). 2. Góc \( \angle ABH = 60^\circ \). 3. Độ dài cạnh \( HB = 10 \, m \). Ta cần tìm \( AH \). Sử dụng định nghĩa của các hàm lượng giác trong tam giác vuông: \[ \tan \angle ABH = \frac{AH}{HB} \] Vì \( \angle ABH = 60^\circ \), ta có: \[ \tan 60^\circ = \sqrt{3} \] Thay vào công thức: \[ \sqrt{3} = \frac{AH}{10} \] Giải phương trình trên để tìm \( AH \): \[ AH = 10 \times \sqrt{3} \] Vậy, chiều cao \( AH = 10\sqrt{3} \, m \). Kết quả đúng là: \( B.~AH=10\sqrt{3} \, m \). Câu 13: a) Ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}3(x-7)=4(y-5)\\4x-3y+8=0\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}3x-21=4y-20\\4x-3y=-8\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}3x-4y=1\\4x-3y=-8\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}-12x+16y=-4\\12x-9y=-24\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}7y=-28\\4x-3y=-8\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=-4\\4x-3(-4)=-8\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=-4\\4x=-20\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=-4\\x=-5\end{matrix}\right.$ b) Ta có bất phương trình: $\frac{x-3}{5}< 6-\frac{1-2x}{3}$ $\Leftrightarrow 3(x-3)< 90-5(1-2x)$ $\Leftrightarrow 3x-9< 90-5+10x$ $\Leftrightarrow -7x< 86$ $\Leftrightarrow x>-\frac{86}{7}$ Câu 14: 1. a) $(2x-1)(x+3)=0$ Điều kiện xác định: $x$ bất kỳ. Phương trình có nghiệm khi: $(2x-1)=0$ hoặc $(x+3)=0$ $2x-1=0$ hoặc $x+3=0$ $x=\frac{1}{2}$ hoặc $x=-3$ Vậy nghiệm của phương trình là $x=\frac{1}{2}$ hoặc $x=-3$. b) $\frac{x-2}{x+2}-\frac{3}{x-2}=\frac{2(x-11)}{4+2x}$ Điều kiện xác định: $x \neq -2$, $x \neq 2$. Quy đồng mẫu số và biến đổi: $\frac{(x-2)^2 - 3(x+2)}{(x+2)(x-2)} = \frac{2(x-11)}{2(x+2)}$ $\frac{x^2 - 4x + 4 - 3x - 6}{(x+2)(x-2)} = \frac{x-11}{x+2}$ $\frac{x^2 - 7x - 2}{(x+2)(x-2)} = \frac{x-11}{x+2}$ Nhân chéo: $(x^2 - 7x - 2)(x+2) = (x-11)(x-2)$ $x^3 - 5x^2 - 16x - 4 = x^2 - 13x + 22$ $x^3 - 6x^2 - 3x - 26 = 0$ Phương trình này khó giải trực tiếp, nhưng ta có thể kiểm tra nghiệm bằng cách thay các giá trị cụ thể vào phương trình ban đầu. Sau khi thử, ta thấy $x=4$ thỏa mãn phương trình. Vậy nghiệm của phương trình là $x=4$. 2. Gọi giá niêm yết của tủ lạnh là $x$ (triệu đồng) và giá niêm yết của máy giặt là $y$ (triệu đồng). Theo đề bài, ta có hệ phương trình: $x + y = 25,4$ $0,6x + 0,75y = 16,77$ Giải hệ phương trình: Từ phương trình đầu tiên, ta có $y = 25,4 - x$. Thay vào phương trình thứ hai: $0,6x + 0,75(25,4 - x) = 16,77$ $0,6x + 19,05 - 0,75x = 16,77$ $-0,15x + 19,05 = 16,77$ $-0,15x = -2,28$ $x = 15,2$ Thay $x = 15,2$ vào $y = 25,4 - x$: $y = 25,4 - 15,2 = 10,2$ Vậy giá niêm yết của tủ lạnh là 15,2 triệu đồng và giá niêm yết của máy giặt là 10,2 triệu đồng. Câu 15: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu: a) Tính số đo góc B Tam giác ABC vuông tại A, có góc C là \(30^\circ\). Do tổng ba góc trong tam giác bằng \(180^\circ\), ta có: \[ \widehat{B} = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \] b) Tính cạnh AC, BC Vì tam giác ABC vuông tại A và có góc C là \(30^\circ\), ta có: - Trong tam giác vuông, cạnh đối diện góc \(30^\circ\) bằng nửa cạnh huyền. Do đó, \(AC = \frac{1}{2} \times AB = \frac{1}{2} \times 8 = 4~cm\). - Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác ABC, ta có: \[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}~cm \] c) Chứng minh \(\tan \widehat{BKC} \cdot \tan \widehat{BCK} = 3\) 1. Xác định điểm H trên AB: Theo đề bài, \(\frac{HA}{HB} = \frac{1}{2}\). Gọi \(HA = x\), thì \(HB = 2x\). Do đó, \(AB = HA + HB = x + 2x = 3x\). Từ \(AB = 8~cm\), ta có \(3x = 8\), suy ra \(x = \frac{8}{3}\). Vậy \(HA = \frac{8}{3}~cm\) và \(HB = \frac{16}{3}~cm\). 2. Xác định điểm K: Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với BC tại E và cắt AC tại K. Do đó, HE vuông góc với BC và HK vuông góc với AC. 3. Chứng minh \(\tan \widehat{BKC} \cdot \tan \widehat{BCK} = 3\): - Xét tam giác BKC, ta có: \[ \tan \widehat{BKC} = \frac{BK}{KC} \] - Xét tam giác BCK, ta có: \[ \tan \widehat{BCK} = \frac{CK}{BK} \] - Tích hai tan: \[ \tan \widehat{BKC} \cdot \tan \widehat{BCK} = \frac{BK}{KC} \cdot \frac{CK}{BK} = 1 \] Tuy nhiên, để chứng minh \(\tan \widehat{BKC} \cdot \tan \widehat{BCK} = 3\), cần thêm thông tin về vị trí của điểm K và các đoạn thẳng liên quan. Do đó, cần kiểm tra lại các điều kiện hình học hoặc thông tin bổ sung để hoàn thành chứng minh này. Vì vậy, cần kiểm tra lại các điều kiện hình học hoặc thông tin bổ sung để hoàn thành chứng minh này. Câu 16: Để tính khoảng cách \(AD\), ta cần biết độ dài của các đoạn thẳng \(AB\), \(BC\), và \(CD\). Giả sử ta có các thông tin sau: - Độ dài đoạn \(AB = a\). - Độ dài đoạn \(BC = b\). - Độ dài đoạn \(CD = c\). Vì \(AD\) là đoạn thẳng nối từ điểm \(A\) đến điểm \(D\) bao quanh hồ nước, ta có thể sử dụng định lý Pythagore nếu biết rằng \(AD\) là đường chéo của một tam giác vuông nào đó. Tuy nhiên, nếu không có thông tin về góc giữa các đoạn thẳng hoặc không biết \(AD\) là đường chéo của tam giác vuông, ta không thể áp dụng định lý Pythagore trực tiếp. Nếu không có thêm thông tin về góc hoặc các đoạn thẳng khác, ta không thể tính chính xác độ dài \(AD\) chỉ dựa vào độ dài của \(AB\), \(BC\), và \(CD\). Cần có thêm thông tin về hình dạng cụ thể của con đường hoặc các góc giữa các đoạn thẳng để có thể tính toán chính xác. Nếu có thêm thông tin, vui lòng cung cấp để có thể tiếp tục giải bài toán.