Cứu tôi ae ơi 😭😭😭😭

Câu 1: Để giải quyết các câu hỏi này, chúng ta sẽ sử dụng định lý cosin và các tính chất của tam giác. a) $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$ Theo định lý cosin, trong tam giác $ABC$, ta có: \[ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \] Do đó, mệnh đề này là Đúng. b) Góc A vuông khi và chỉ khi $a^2 = b^2 + c^2$ Theo định lý Pythagore, trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông. Nếu góc $A$ vuông, thì cạnh đối diện góc $A$ là cạnh huyền, do đó $a^2 = b^2 + c^2$. Ngược lại, nếu $a^2 = b^2 + c^2$, thì góc $A$ là góc vuông. Do đó, mệnh đề này là Đúng. c) Góc A nhọn khi và chỉ khi $a^2 > b^2 + c^2$ Để góc $A$ nhọn, theo định lý cosin, $\cos A > 0$. Điều này xảy ra khi $b^2 + c^2 - a^2 > 0$, tức là $a^2 < b^2 + c^2$. Do đó, mệnh đề này là Sai. d) Góc A tù khi và chỉ khi $a^2 < b^2 + c^2$ Để góc $A$ tù, theo định lý cosin, $\cos A < 0$. Điều này xảy ra khi $b^2 + c^2 - a^2 < 0$, tức là $a^2 > b^2 + c^2$. Do đó, mệnh đề này là Sai. Tóm lại: - a) Đúng - b) Đúng - c) Sai - d) Sai Câu 2: Để giải quyết các mệnh đề trên, ta cần sử dụng định lý cosin và các tính chất của tam giác. Mệnh đề a): $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$ Theo định lý cosin, ta có: \[ \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \] Thay các giá trị đã cho vào: \[ \cos B = \frac{52.1^2 + 54^2 - 85^2}{2 \times 52.1 \times 54} \] Tính toán: \[ 52.1^2 = 2714.41, \quad 54^2 = 2916, \quad 85^2 = 7225 \] \[ \cos B = \frac{2714.41 + 2916 - 7225}{2 \times 52.1 \times 54} = \frac{-1594.59}{5626.8} \] \[ \cos B \approx -0.2834 \] Vậy mệnh đề a) là Đúng. Mệnh đề b): $\widehat A \approx 32^0$ Sử dụng định lý cosin để tính góc A: \[ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \] Thay các giá trị đã cho vào: \[ \cos A = \frac{85^2 + 54^2 - 52.1^2}{2 \times 85 \times 54} \] Tính toán: \[ \cos A = \frac{7225 + 2916 - 2714.41}{2 \times 85 \times 54} = \frac{5426.59}{9180} \] \[ \cos A \approx 0.5911 \] Sử dụng bảng giá trị cosin hoặc máy tính để tìm góc A: \[ A \approx 53.7^0 \] Vậy mệnh đề b) là Sai. Mệnh đề c): $B \approx 126^0$ Từ kết quả tính $\cos B \approx -0.2834$, ta tìm được góc B: \[ B \approx 106.5^0 \] Vậy mệnh đề c) là Sai. Mệnh đề d): $C \approx 38^0$ Sử dụng tổng các góc trong tam giác: \[ A + B + C = 180^0 \] \[ C = 180^0 - A - B \approx 180^0 - 53.7^0 - 106.5^0 \approx 19.8^0 \] Vậy mệnh đề d) là Sai. Tóm lại: - Mệnh đề a) là Đúng. - Mệnh đề b) là Sai. - Mệnh đề c) là Sai. - Mệnh đề d) là Sai. Câu 3: Để giải quyết các câu hỏi này, chúng ta sẽ sử dụng định lý cosin và các tính chất của tam giác. a) Mệnh đề: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ Định lý cosin cho tam giác ABC với các cạnh $a$, $b$, $c$ và góc $C$ là: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C \] Do đó, mệnh đề này là Đúng. b) Tính $c$ Sử dụng định lý cosin: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C \] Thay các giá trị đã cho vào: \[ c^2 = 49.4^2 + 26.4^2 - 2 \times 49.4 \times 26.4 \times \cos 47^\circ 20' \] Tính từng phần: - $49.4^2 = 2440.36$ - $26.4^2 = 696.96$ - $\cos 47^\circ 20'$ (sử dụng máy tính hoặc bảng tra) $\approx 0.677$ Thay vào công thức: \[ c^2 = 2440.36 + 696.96 - 2 \times 49.4 \times 26.4 \times 0.677 \] \[ c^2 = 2440.36 + 696.96 - 1770.57 \] \[ c^2 = 1366.75 \] Lấy căn bậc hai: \[ c \approx \sqrt{1366.75} \approx 36.97 \] Vậy $c \approx 37~cm$, không phải $47~cm$. Do đó, mệnh đề này là Sai. c) Tính $\widehat A$ Sử dụng định lý cosin để tìm $\widehat A$: \[ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \] Thay các giá trị đã biết: \[ \cos A = \frac{26.4^2 + 37^2 - 49.4^2}{2 \times 26.4 \times 37} \] Tính từng phần: - $26.4^2 = 696.96$ - $37^2 = 1369$ - $49.4^2 = 2440.36$ Thay vào công thức: \[ \cos A = \frac{696.96 + 1369 - 2440.36}{2 \times 26.4 \times 37} \] \[ \cos A = \frac{-374.4}{1953.6} \] \[ \cos A \approx -0.1916 \] Sử dụng máy tính để tìm $\widehat A$: \[ \widehat A \approx 101^\circ \] Vậy $\widehat A \approx 101^\circ$, không phải $137^\circ$. Do đó, mệnh đề này là Sai. d) Tính $\widehat B$ Sử dụng tổng các góc trong tam giác: \[ \widehat B = 180^\circ - \widehat A - \widehat C \] Thay các giá trị đã biết: \[ \widehat B = 180^\circ - 101^\circ - 47^\circ 20' \] \[ \widehat B = 31^\circ 40' \] Vậy $\widehat B \approx 31^\circ 40'$. Do đó, mệnh đề này là Đúng. Câu 4: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các định lý lượng giác cơ bản, cụ thể là định lý sin và định lý tổng các góc trong tam giác. a) Tính góc \( \widehat{A} \): Trong tam giác, tổng ba góc bằng \(180^\circ\). Do đó, ta có: \[ \widehat{A} = 180^\circ - \widehat{B} - \widehat{C} = 180^\circ - 83^\circ - 57^\circ = 40^\circ \] Vậy mệnh đề a) \(\widehat{A} = 40^\circ\) là Đúng. b) Sử dụng định lý sin: Định lý sin cho tam giác ABC là: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \] Vậy mệnh đề b) \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = R\) là Sai. Đúng ra phải là \(2R\). c) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp \(R\): Theo định lý sin, ta có: \[ 2R = \frac{a}{\sin A} \] Do đó: \[ R = \frac{a}{2\sin A} \] Với \(a = 137,5\) cm và \(\widehat{A} = 40^\circ\), ta có: \[ \sin 40^\circ \approx 0,6428 \] \[ R = \frac{137,5}{2 \times 0,6428} \approx 106,96 \text{ cm} \] Vậy mệnh đề c) \(R \approx 106,96 \text{ cm}\) là Đúng. d) Tính cạnh \(b\): Sử dụng định lý sin: \[ \frac{b}{\sin B} = \frac{a}{\sin A} \] Do đó: \[ b = \frac{a \cdot \sin B}{\sin A} \] Với \(\sin B = \sin 83^\circ \approx 0,9925\) và \(\sin A \approx 0,6428\), ta có: \[ b = \frac{137,5 \times 0,9925}{0,6428} \approx 179,4 \text{ cm} \] Vậy mệnh đề d) \(b \approx 179,4 \text{ cm}\) là Đúng. Tóm lại, các mệnh đề a), c), và d) là Đúng, còn mệnh đề b) là Sai. Câu 5: Để giải quyết các mệnh đề trên, ta cần sử dụng một số công thức liên quan đến tam giác. Trước tiên, ta cần xác định các yếu tố cơ bản của tam giác ABC với các cạnh \(a = 7\), \(b = 9\), \(c = 12\). a) Mệnh đề $p = 14$ Chu vi của tam giác \(p\) được tính bằng tổng độ dài các cạnh: \[ p = a + b + c = 7 + 9 + 12 = 28 \] Vậy mệnh đề $p = 14$ là Sai. b) Mệnh đề $S = 13\sqrt{5}$ Diện tích \(S\) của tam giác có thể được tính bằng công thức Heron: \[ S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \] trong đó \(s\) là nửa chu vi: \[ s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{28}{2} = 14 \] Áp dụng công thức Heron: \[ S = \sqrt{14(14-7)(14-9)(14-12)} \] \[ S = \sqrt{14 \times 7 \times 5 \times 2} \] \[ S = \sqrt{980} \] \[ S = 14\sqrt{5} \] Vậy mệnh đề $S = 13\sqrt{5}$ là Sai. c) Mệnh đề $R = \frac{7\sqrt{5}}{10}$ Bán kính \(R\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác được tính bằng công thức: \[ R = \frac{abc}{4S} \] Từ kết quả trên, ta có: \[ S = 14\sqrt{5} \] Áp dụng công thức: \[ R = \frac{7 \times 9 \times 12}{4 \times 14\sqrt{5}} \] \[ R = \frac{756}{56\sqrt{5}} \] \[ R = \frac{189}{14\sqrt{5}} \] \[ R = \frac{27}{2\sqrt{5}} \] Rút gọn: \[ R = \frac{27\sqrt{5}}{10} \] Vậy mệnh đề $R = \frac{7\sqrt{5}}{10}$ là Sai. d) Mệnh đề $r = \sqrt{3}$ Bán kính \(r\) của đường tròn nội tiếp tam giác được tính bằng công thức: \[ r = \frac{S}{s} \] Áp dụng công thức: \[ r = \frac{14\sqrt{5}}{14} \] \[ r = \sqrt{5} \] Vậy mệnh đề $r = \sqrt{3}$ là Sai. Tóm lại, tất cả các mệnh đề đều Sai.