Giải toánnnnnn

Bài 1: Để giải bài toán này, chúng ta cần thực hiện các phép toán với các vectơ đã cho. Cụ thể, chúng ta cần tính hai biểu thức vectơ: \(2\overrightarrow{u} - 3\overrightarrow{v}\) và \(3\overrightarrow{u} + 4\overrightarrow{v}\). Bước 1: Tính \(2\overrightarrow{u}\) và \(3\overrightarrow{v}\) Vectơ \(\overrightarrow{u} = (2, 1)\), do đó: \[ 2\overrightarrow{u} = 2 \cdot (2, 1) = (2 \cdot 2, 2 \cdot 1) = (4, 2) \] Vectơ \(\overrightarrow{v} = (3, 5)\), do đó: \[ 3\overrightarrow{v} = 3 \cdot (3, 5) = (3 \cdot 3, 3 \cdot 5) = (9, 15) \] Bước 2: Tính \(2\overrightarrow{u} - 3\overrightarrow{v}\) Sử dụng kết quả từ Bước 1: \[ 2\overrightarrow{u} - 3\overrightarrow{v} = (4, 2) - (9, 15) = (4 - 9, 2 - 15) = (-5, -13) \] Bước 3: Tính \(3\overrightarrow{u}\) và \(4\overrightarrow{v}\) Vectơ \(\overrightarrow{u} = (2, 1)\), do đó: \[ 3\overrightarrow{u} = 3 \cdot (2, 1) = (3 \cdot 2, 3 \cdot 1) = (6, 3) \] Vectơ \(\overrightarrow{v} = (3, 5)\), do đó: \[ 4\overrightarrow{v} = 4 \cdot (3, 5) = (4 \cdot 3, 4 \cdot 5) = (12, 20) \] Bước 4: Tính \(3\overrightarrow{u} + 4\overrightarrow{v}\) Sử dụng kết quả từ Bước 3: \[ 3\overrightarrow{u} + 4\overrightarrow{v} = (6, 3) + (12, 20) = (6 + 12, 3 + 20) = (18, 23) \] Kết luận: - \(2\overrightarrow{u} - 3\overrightarrow{v} = (-5, -13)\) - \(3\overrightarrow{u} + 4\overrightarrow{v} = (18, 23)\) Bài 2: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu. a) Chứng minh $ABC$ là một tam giác Để chứng minh $ABC$ là một tam giác, ta cần chứng minh ba điểm $A$, $B$, $C$ không thẳng hàng. Để làm điều này, ta có thể kiểm tra xem ba điểm có nằm trên cùng một đường thẳng hay không bằng cách kiểm tra độ dốc của các đoạn thẳng $AB$, $AC$, và $BC$. - Độ dốc của đoạn thẳng $AB$ là: \[ m_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{3 - 1}{2 - 1} = 2 \] - Độ dốc của đoạn thẳng $AC$ là: \[ m_{AC} = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \frac{-1 - 1}{4 - 1} = \frac{-2}{3} \] - Độ dốc của đoạn thẳng $BC$ là: \[ m_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{-1 - 3}{4 - 2} = \frac{-4}{2} = -2 \] Vì $m_{AB} \neq m_{AC} \neq m_{BC}$, ba điểm $A$, $B$, $C$ không thẳng hàng. Do đó, $ABC$ là một tam giác. b) Tính $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BC}$ - Vector $\overrightarrow{AB}$: \[ \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (2 - 1, 3 - 1) = (1, 2) \] - Vector $\overrightarrow{AC}$: \[ \overrightarrow{AC} = (x_C - x_A, y_C - y_A) = (4 - 1, -1 - 1) = (3, -2) \] - Vector $\overrightarrow{BC}$: \[ \overrightarrow{BC} = (x_C - x_B, y_C - y_B) = (4 - 2, -1 - 3) = (2, -4) \] c) Tìm tọa độ $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $AB$, $AC$ và tính độ dài $MN$ - Tọa độ trung điểm $M$ của $AB$: \[ M\left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) = \left(\frac{1 + 2}{2}, \frac{1 + 3}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}, 2\right) \] - Tọa độ trung điểm $N$ của $AC$: \[ N\left(\frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}\right) = \left(\frac{1 + 4}{2}, \frac{1 - 1}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}, 0\right) \] - Độ dài đoạn thẳng $MN$: \[ MN = \sqrt{\left(\frac{5}{2} - \frac{3}{2}\right)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{\left(1\right)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \] Vậy độ dài $MN$ là $\sqrt{5}$.