Câu $\rm 2.$

Câu 2: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng khẳng định a), b), c) và d). Khảo sát cấp số nhân $(u_n)$: Cấp số nhân có dạng tổng quát là: \[ u_n = u_1 \cdot q^{n-1} \] Điều kiện đã cho: \[ \left\{ \begin{array}{l} u_4 + u_6 = -540 \\ u_3 + u_5 = 180 \end{array} \right. \] Biểu diễn các số hạng theo $u_1$ và $q$: \[ u_3 = u_1 \cdot q^2, \quad u_4 = u_1 \cdot q^3, \quad u_5 = u_1 \cdot q^4, \quad u_6 = u_1 \cdot q^5 \] Thay vào các phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} u_1 \cdot q^3 + u_1 \cdot q^5 = -540 \\ u_1 \cdot q^2 + u_1 \cdot q^4 = 180 \end{array} \right. \] Rút gọn: \[ \left\{ \begin{array}{l} u_1 \cdot q^3 (1 + q^2) = -540 \\ u_1 \cdot q^2 (1 + q^2) = 180 \end{array} \right. \] Chia hai phương trình để tìm $q$: \[ \frac{u_1 \cdot q^3 (1 + q^2)}{u_1 \cdot q^2 (1 + q^2)} = \frac{-540}{180} \] \[ q = -3 \] Tìm $u_1$: Thay $q = -3$ vào phương trình thứ hai: \[ u_1 \cdot (-3)^2 (1 + (-3)^2) = 180 \] \[ u_1 \cdot 9 \cdot 10 = 180 \] \[ u_1 \cdot 90 = 180 \] \[ u_1 = 2 \] Kiểm tra các khẳng định: a) Số hạng đầu của cấp số nhân $(u_n)$ là $u_1 = 2$ Đúng vì chúng ta đã tìm ra $u_1 = 2$. b) Gọi $q$ là công bội của cấp số nhân $(u_n)$, thì ba số $q; 1; 3$ tạo thành một cấp số cộng Kiểm tra nếu $q = -3$, thì: \[ -3, 1, 3 \] Hiệu giữa các số liên tiếp: \[ 1 - (-3) = 4, \quad 3 - 1 = 2 \] Không thỏa mãn tính chất của cấp số cộng. Vậy khẳng định này sai. c) Số $-486$ là số hạng thứ 6 của cấp số nhân $(u_n)$ Số hạng thứ 6: \[ u_6 = u_1 \cdot q^5 = 2 \cdot (-3)^5 = 2 \cdot (-243) = -486 \] Đúng. d) Cấp số cộng $(v_n)$ có số hạng đầu là số hạng đầu của cấp số nhân $(u_n)$ và công sai $d = 3$ thì số hạng thứ 10 của cấp số cộng có giá trị là $v_{10} = 30$ Số hạng đầu $v_1 = u_1 = 2$, công sai $d = 3$: \[ v_{10} = v_1 + (10 - 1) \cdot d = 2 + 9 \cdot 3 = 2 + 27 = 29 \] Sai vì $v_{10} = 29$ chứ không phải $30$. Kết luận: - a) Đúng - b) Sai - c) Đúng - d) Sai