Câu $\rm 18.$

Câu 18: Ta có: \[ \int_{0}^{1} f(x) \, dx = \left[ \frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx \right]_{0}^{1} = \frac{a}{3} + \frac{b}{2} + c = -\frac{7}{2}. \] \[ \int_{0}^{2} f(x) \, dx = \left[ \frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx \right]_{0}^{2} = \frac{8a}{3} + 2b + 2c = -2. \] \[ \int_{0}^{3} f(x) \, dx = \left[ \frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx \right]_{0}^{3} = 9a + \frac{9b}{2} + 3c = \frac{13}{2}. \] Từ đó ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} \frac{a}{3} + \frac{b}{2} + c = -\frac{7}{2} \\ \frac{8a}{3} + 2b + 2c = -2 \\ 9a + \frac{9b}{2} + 3c = \frac{13}{2} \end{cases} \] Nhân cả hai vế của phương trình đầu tiên với 6 để dễ dàng so sánh: \[ 2a + 3b + 6c = -21. \] Nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với 3 để dễ dàng so sánh: \[ 8a + 6b + 6c = -6. \] Nhân cả hai vế của phương trình thứ ba với 2 để dễ dàng so sánh: \[ 18a + 9b + 6c = 13. \] Bây giờ ta có hệ phương trình mới: \[ \begin{cases} 2a + 3b + 6c = -21 \\ 8a + 6b + 6c = -6 \\ 18a + 9b + 6c = 13 \end{cases} \] Trừ phương trình thứ hai cho phương trình đầu tiên: \[ (8a + 6b + 6c) - (2a + 3b + 6c) = -6 - (-21) \] \[ 6a + 3b = 15 \] \[ 2a + b = 5. \quad \text{(1)} \] Trừ phương trình thứ ba cho phương trình thứ hai: \[ (18a + 9b + 6c) - (8a + 6b + 6c) = 13 - (-6) \] \[ 10a + 3b = 19. \quad \text{(2)} \] Giải hệ phương trình (1) và (2): \[ \begin{cases} 2a + b = 5 \\ 10a + 3b = 19 \end{cases} \] Nhân phương trình (1) với 3: \[ 6a + 3b = 15. \] Trừ phương trình này cho phương trình (2): \[ (10a + 3b) - (6a + 3b) = 19 - 15 \] \[ 4a = 4 \] \[ a = 1. \] Thay \( a = 1 \) vào phương trình (1): \[ 2(1) + b = 5 \] \[ 2 + b = 5 \] \[ b = 3. \] Thay \( a = 1 \) và \( b = 3 \) vào phương trình đầu tiên: \[ \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + c = -\frac{7}{2} \] \[ \frac{2}{6} + \frac{9}{6} + c = -\frac{21}{6} \] \[ \frac{11}{6} + c = -\frac{21}{6} \] \[ c = -\frac{21}{6} - \frac{11}{6} \] \[ c = -\frac{32}{6} \] \[ c = -\frac{16}{3}. \] Do đó, \( P = a + b + c = 1 + 3 - \frac{16}{3} = \frac{3}{3} + \frac{9}{3} - \frac{16}{3} = -\frac{4}{3}. \) Đáp số: \( P = -\frac{4}{3}. \)