Câu $\rm 19.$ Câu 19. Người ta quan sát một quần thể vi khuẩn đang tăng trưởng, ban đầu có 500 vi khuẩn. Sau một ngày,và sau bốn ngày kể từ khi bắt đầu quan sát, số lượng vi khuẩn của quần thể đó tương ứng là 600 vi khuẩn,và 1300 vi khuẩn. Gọi P(t) là số lượng vi khuẩn của quần thể đó tại thời điểm t ngày kể từ khi bắt đầu,quan sát, $0\leq t\leq10.$ Người ta ước tính tốc độ tăng trưởng của quần thể vi khuẩn đó được mô tả bởi,$P^\prime(t)=at+b\sqrt t$ (vi khuẩn/ngày), trong đó a, b là các hằng số. Hỏi số lượng vi khuẩn của quần thể đó sau,9 ngày kể từ khi bắt đầu quan sát là bao nhiêu?

Question

Accepted Answer

Câu 19:
Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm hàm số $ P(t) $ mô tả số lượng vi khuẩn tại thời điểm $ t $ ngày, biết rằng tốc độ tăng trưởng của quần thể vi khuẩn được mô tả bởi $ P&#x27;(t) = at + b\sqrt{t} $.

Bước 1: Tìm $ P(t) $ bằng cách tích phân $ P&#x27;(t) $:
$$ P(t) = \int (at + b\sqrt{t}) \, dt $$

Tích phân từng phần:
$$ P(t) = \int at \, dt + \int b\sqrt{t} \, dt $$
$$ P(t) = a \int t \, dt + b \int \sqrt{t} \, dt $$
$$ P(t) = a \left( \frac{t^2}{2} \right) + b \left( \frac{2}{3} t^{3/2} \right) + C $$
$$ P(t) = \frac{a t^2}{2} + \frac{2b t^{3/2}}{3} + C $$

Bước 2: Xác định hằng số $ C $ bằng cách sử dụng điều kiện ban đầu $ P(0) = 500 $:
$$ P(0) = \frac{a \cdot 0^2}{2} + \frac{2b \cdot 0^{3/2}}{3} + C = 500 $$
$$ C = 500 $$

Vậy hàm số $ P(t) $ có dạng:
$$ P(t) = \frac{a t^2}{2} + \frac{2b t^{3/2}}{3} + 500 $$

Bước 3: Sử dụng các điều kiện khác để tìm $ a $ và $ b $:
- Sau 1 ngày ($ t = 1 $), số lượng vi khuẩn là 600:
$$ P(1) = \frac{a \cdot 1^2}{2} + \frac{2b \cdot 1^{3/2}}{3} + 500 = 600 $$
$$ \frac{a}{2} + \frac{2b}{3} + 500 = 600 $$
$$ \frac{a}{2} + \frac{2b}{3} = 100 $$
$$ 3a + 4b = 600 \quad \text{(1)} $$

- Sau 4 ngày ($ t = 4 $), số lượng vi khuẩn là 1300:
$$ P(4) = \frac{a \cdot 4^2}{2} + \frac{2b \cdot 4^{3/2}}{3} + 500 = 1300 $$
$$ \frac{16a}{2} + \frac{2b \cdot 8}{3} + 500 = 1300 $$
$$ 8a + \frac{16b}{3} + 500 = 1300 $$
$$ 8a + \frac{16b}{3} = 800 $$
$$ 24a + 16b = 2400 \quad \text{(2)} $$

Bước 4: Giải hệ phương trình (1) và (2):
$$ 3a + 4b = 600 $$
$$ 24a + 16b = 2400 $$

Nhân phương trình (1) với 4:
$$ 12a + 16b = 2400 $$

Trừ phương trình này cho phương trình (2):
$$ 12a + 16b - (24a + 16b) = 2400 - 2400 $$
$$ -12a = 0 $$
$$ a = 0 $$

Thay $ a = 0 $ vào phương trình (1):
$$ 3(0) + 4b = 600 $$
$$ 4b = 600 $$
$$ b = 150 $$

Bước 5: Thay $ a = 0 $ và $ b = 150 $ vào hàm số $ P(t) $:
$$ P(t) = \frac{0 \cdot t^2}{2} + \frac{2 \cdot 150 \cdot t^{3/2}}{3} + 500 $$
$$ P(t) = 100 t^{3/2} + 500 $$

Bước 6: Tính số lượng vi khuẩn sau 9 ngày ($ t = 9 $):
$$ P(9) = 100 \cdot 9^{3/2} + 500 $$
$$ P(9) = 100 \cdot 27 + 500 $$
$$ P(9) = 2700 + 500 $$
$$ P(9) = 3200 $$

Vậy số lượng vi khuẩn của quần thể đó sau 9 ngày kể từ khi bắt đầu quan sát là 3200 vi khuẩn.